SYSU-10，URAL 1675，容斥原理

我们队没人会做tm数学，心塞

题目大意：对于一个n*m的01矩阵，问有多少种可能是恰好k行l列全为1，其他行列不全为一。

解：首先我们可以枚举哪些行列全唯一，然后把剩余的行列拿出来，等价于求n,m,0,0。然后我们做以下考虑，假设我们已经保证了所有行都不为0，那么每种情况都会被归类于他们恰有i列全为1。所以我们设f[i]为所有全1列数大于i的方案，所以答案等于 total - f[1], total其实就是C（m,0）* (2^m-1)^n。

递归考虑f[1],f[1] = total2 - f[2]。如此递归直到f[m] = 0。把式子结合起来，就是：

　　ans = C（m,0）* (2^m-1)^n - C（m,1）* (2^(m-1)-1)^n + C（m,2）* (2^(m-2)-1)^n ............

（我是无法理解为何是容斥原理，形式很像，各种直觉上来说也是，但是我没办法把他化成集合与的加加减减这种形式）

 

 

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

#define MAXN 111111
#define LL long long

const LL MOD = 1e9 + 7;

LL poww[MAXN], inv[MAXN];

int n, m, k, l;

LL quick_pow(LL a, LL b) {
    LL res = 1, base = a;
    while (b > 0) {
        if (b&1) res = (res * base) % MOD;
        base = (base * base ) % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

void pre() {
    poww[0] = 1;
    inv[0] = 1;
    for (int i = 1; i < MAXN; ++i) {
        poww[i] = poww[i-1] * i % MOD;
        inv[i] = quick_pow(poww[i], MOD - 2);
    }
}

#define C(n,m) ((m)>(n)?0:(poww[n]*inv[m]%MOD)*inv[n-m]%MOD)

LL calc(int n, int m) {
    LL res = 0;
    for (int i = m, k = 1; i >= 0; --i, k = -k) {
        res += (MOD + k * (C(m, i) * quick_pow(quick_pow(2, i) - 1, n)));
        res %= MOD;
    }
    return res;
}

int main() {
    pre();
    while (scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &k, &l) == 4) {
        LL ans = (C(n, k) * C(m, l) % MOD * calc(n - k, m - l) % MOD) + MOD;
        cout << ans % MOD << endl;
    }
    return 0;
}