bzoj 1010 [HNOI2008]玩具装箱

Bzoj 1010 [hnoi2008]toy

题目大意：给n个数，求将这些数切成数段，每段的长度为（sum+（i-j+1）-l）^2,求总的长度和最小。

裸dp   dp[i] := min(dp[k] + (f[i]-f[j]-c)  有 i<j，f[i] = sum[i] + I;  c = l+1

把方程转化为 y=kx+ans，ans即我们要求的数，x，y，k通过枚举的j可知，所以在斜率一定的情况下，直线 k？+ans 第一个碰到的决策点即使ans最小。

然后通过斜率优化，可以证明决策点的最优，构建维护一个单调队列（点与点之间的斜率单调递增）（队尾维护），然后队首则维护首2点斜率大于k（k也可以推出随i增加单调的）

{补充：单调队列维护下凸性，队首维护解决当前最优解，队尾维护则是删除上凸点}

Dp[x] = min(dp[i]+(f[x]-f[i]-c)^2)

=f[x]^2+min(dp[i]-2f[x](f[i]+c)+(f[i]+c)^2)

设 dp[x]-f[x]^2=G     dp[i]+(f[i]+c)^2 = Ti   2(f[i]+c) = Hi

原式 =  G = Ti –f[x]Hi

直线 =  Ti = G+f[x]Hi

斜率 = Tj-Ti / Hj-Hi

感谢这两篇文章带领我认识斜率优化

这个分析的很论文很像，托这个的福才顺利理解了原理的

http://hi.baidu.com/ext_newbie/blog/item/98f66c31875426250a55a9de.html

这个跳得有点快，直接上斜率，没有突出点的形式，让我有点费解，但是很简洁，看不懂也是因为神牛对我的bs吧= =

http://blog.sina.com.cn/s/blog_5e6fc6d60100vp2j.html

 

以及国家队2004论文

一句话：使转移点呈现单调递增函数的模样，然后有一条斜率单调递增的直线与这个函数相切，切点为ans。

 

//bzoj 1010 [hnoi2008] toy
const
        maxn=51111;
        inf='1.txt';
var
        dp, f: array[0..maxn]of qword;
        q: array[0..maxn]of longint;
        n, l: longint;
        c: int64;
procedure init;
var
        i: longint;
begin
  fillchar(dp, sizeof(dp), 0);
  fillchar(f, sizeof(f), 0);
  readln(n, l);
  for i := 1 to n do begin
    readln(f[i]); f[i] := f[i] + f[i-1] + 1;
  end;
  c := l + 1;
end;

function g(j, i: longint): qword;
begin exit(dp[i]+(f[i]+c)*(f[i]+c)-dp[j]-(f[j]+c)*(f[j]+c)); end;

function s(j, i: longint): qword;
begin exit(2*(f[i]-f[j])); end;

procedure main;
var
        j, head, tail, i, u, x, y, z: longint;
begin
  head := 1; tail := 1;
  q[tail] := 0;
  for i := 1 to n do begin
    while (head<tail)and(g(q[head], q[head+1])<=f[i]*s(q[head], q[head+1])) do inc(head);
    u := q[head];
    dp[i] := dp[u] + (f[i]-f[u]-c)*(f[i]-f[u]-c);
    inc(tail); q[tail] := i;
    while (head+2<=tail) do begin
      x := q[tail-2]; y := q[tail-1]; z := q[tail];
      if not(g(x, y)*s(y, z)<g(y, z)*s(x, y)) then begin
        q[tail-1] := q[tail]; dec(tail);
      end
      else break;
    end;
  end;

end;

procedure print;
begin
  writeln(dp[n]);
end;

begin
  assign(input,inf); reset(input);
  init;
  main;
  print;
end.