【笔记】第四章 等离子体中的波

4. 1 波的表示法

用傅里叶分析法能将任何一种流体的周期性运动分成具有不同频率 \(\omega\) 和波长 \(\lambda\) 的正弦振荡的叠加. 这些分量中的任何一个都是一种简单的波. 在小振幅振荡 时, 波形一般是正弦的, 并且只有一种组分. 这就是我们将考虑的情况.
任何正弦的振荡量 (如密度 \(n\) ) 能表示成

\[n = \bar n e^{i(\vec k\cdot\vec r - \omega t)}\tag{4-1} \]

在笛卡儿坐标系中

\[\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}=k_{x} x+k_{y} y+k_{z} z\tag{4-2} \]

这里 \(\bar{n}\) 是确定波振幅的一个常数, 而 \(\boldsymbol{k}\) 称为传播常数. 如果波在 \(x\) 方向传播, \(\boldsymbol{k}\) 只有一个 \(x\) 分量, 方程 \((4-1)\) 变成

\[n=\bar{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x-\omega t)} \]

按照习惯, 指数记法意味着取表达式的实部为可测量. 让我们选择 \(\bar{n}\) 是实数, 不 久将看到, 这种选择相当于挑选 \(x\) 和 \(t\) 的原点. 因此, \(n\) 的实部是

\[\operatorname{Re}(n)=\bar{n} \cos (k x-\omega t) \]

• 对于有衰减的情况，

  \[n = \bar n e^{i(\vec k\vec r-\omega t)+pt} \]

  指数上的非虚数部分表示阻尼（衰减）

  可以将波重新写作

\[ n = \bar n e^{i(\vec k\vec r-\omega t)+pt} = \bar ne^{pt} e^{i(\vec k\vec r-\omega t)} =\bar n_c e^{i(\vec k\vec r-\omega t)} \]

\(\bar n_c\)为复振幅，可以消除下标\(c\)以表示一般形式

在波上, 恒定相位的点是运动的, 结果是 \((\mathrm{d} / \mathrm{d} t)(k x-\omega t)=0\), 【因为相位恒定，不随时间改变，所以对时间导数为零】或者【由此推出下式】

\[\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=\frac{\omega}{k} \equiv v_{\varphi} \]

这个速度称为相速度. 如果 \(\omega / k\) 是正的, 则波向右运动; 也就是说, 为了使 \(k x-\omega t\) 保持常量, \(x\) 随 \(t\) 的增加而增加. 如果 \(\omega / k\) 是负的, 波向左运动, 我们也可同样 好地将 \(n\) 表达成

\[n=\bar{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x+\omega t)} \]

这时, 正的 \(\omega / k\) 会具有负相速度的含义. 这是有时使用的一种定法, 但我们不采 用它. 从方程 (4-3) 清楚地看到, 使 \(\omega\) 和 \(k\) 都反转符号, 其结果并不改变.

相速度可以超光速，和运动速度不是一回事，不传递能量\(\Rightarrow\)不传递信息

现在, 考虑波中的另一个振荡量, 比如, 考虑电场 \(\boldsymbol{E}\). 由于我们选择 \(n\) 的相 位是零, 因此必须让 \(\boldsymbol{E}\) 有一个不同的相位 \(\delta\),

\[\boldsymbol{E}=\overline{\boldsymbol{E}} \cos (k x-\omega t+\delta) \text { 或 } \boldsymbol{E}=\overline{\boldsymbol{E}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x-\omega t+\delta)} \]

先有密度不均匀，后有的电场，电场晚于波，所以就有\(\delta\)表示相位延迟

其中, \(\overline{\boldsymbol{E}}\) 是一个不变的实矢量 .

通常将相位信息合并到 \(\overline{\boldsymbol{E}}\) 中, 要做到这一点, 就要让 \(\overline{\boldsymbol{E}}\) 为复数, 我们能将 \(\boldsymbol{E}\) 写成

\[\boldsymbol{E}=\overline{\boldsymbol{E}} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \delta} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x-\omega t)} \equiv \overline{\boldsymbol{E}_{\mathrm{c}}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x-\omega t)} \]

其中, \(\overline{\boldsymbol{E}}_{\mathrm{c}}\) 是一个复振幅. 相位 \(\delta\) 能从 \(\overline{\boldsymbol{E}}_{\mathrm{c}}\) 求出, 由于 \(\operatorname{Re}\left(\overline{\boldsymbol{E}}_{\mathrm{c}}\right)=\overline{\boldsymbol{E}} \cos \delta\) 和 \(\operatorname{Im}\left(\overline{\boldsymbol{E}}_{\mathrm{c}}\right)=\) \(\overline{\boldsymbol{E}} \sin \delta\), 因此

\[\tan \delta=\frac{\operatorname{Im}\left(\overline{\boldsymbol{E}_{\mathrm{c}}}\right)}{\operatorname{Re}\left(\boldsymbol{E}_{\mathrm{c}}\right)} \]

从现在起, 我们将假定所有的振幅都是复数, 并且去掉下标 c. 任何振荡量 \(g_{1}\) 将 写成

\[g_{1}=g_{1} e^{i(k \cdot r-\omega t)} \]

因此, \(g_{1}\) 既能代替复振幅, 又能代替整个表达式 (4-7). 这样做不会出现混淆, 因为在线性波理论中, 同一个指数因子会出现在任何方程的两边, 因而能够 抵消.

4. 2 群速度

等离子体中波的相速度经常超过光速 \(c\). 这并不违背相对论, 因为一个无限长 的恒定振幅的波列不能传递信息. 例如, 无线电波的载波在它调制以前不能传递 信息. 调制的信息不是以相速度而是以群速度传播, 而群速总是小于光速 \(c\). 为了 说明这一点, 我们可以考虑一个调制波, 它是由两个接近于等频的波的叠加 (“差频”) 形成的. 令这两个波是

\[\begin{array}{l}E_{1}=E_{0} \cos \left(k_{1} x-\omega_{1} t\right)=E_{0} \cos [(k+\Delta k) x-(\omega+\Delta \omega) t] \\ E_{2}=E_{0} \cos \left(k_{2} x-\omega_{2} t\right)=E_{0} \cos [(k-\Delta k) x-(\omega-\Delta \omega) t]\end{array} \]

其中，\(k_{1}=k+\Delta k, \quad k_{2}=k-\Delta k, \quad \omega_{1}=\omega+\Delta \omega, \quad \omega_{2}=\omega-\Delta \omega\)

\(E_{1}\) 和 \(E_{2}\) 的频率差为 \(2 \Delta \omega\). 由于每个波必须具有与它们在媒质中传播相适应的相 速度 \(\omega / k\), 因此就必须考虑到传播常数的差 \(2 \Delta k\).

频率差 \(2 \Delta \omega\),波数也要差\(2 \Delta k\)，才能保证相速度不变。❓为什么不变，相速度有什么决定？

用简化符号

\[\begin{gathered} a=k x-\omega t \\ b=(\Delta k) x-(\Delta \omega) t \end{gathered} \]

就得到

\[\begin{aligned} E=E_{1}+E_{2} &=E_{0} \cos (a+b)+E_{0} \cos (a-b) \\ &=E_{0}(\cos a \cos b-\sin a \sin b+\cos a \cos b+\sin a \sin b) \\ &=2 E_{0} \cos a \cos b \\ E_{1}+E_{2} &=2 E_{0} \cos ((\Delta k) x-(\Delta \omega) t )\cos (k x-\omega t) \end{aligned} \]

这是一个正弦调制波（图 4-1）. 携带波信息的是波的包络线（由 \(\cos (\Delta k x-\Delta \omega t)\) 给出, 它以速度 \(\Delta \omega / \Delta k\) 传播. 取极限 \(\Delta \omega \rightarrow 0\), 我们定义群速度是

\[v_{\mathrm{g}}=\frac{\mathrm{d} \omega} { \mathrm{d} k} \]

频率要随着k改变才能传递信息——调频，并且可以传输能量。

例子：电子在电磁波中的运动——画八字？\(\Rightarrow\)没有传递信息。如果频率改变，运动会发生变化，从电磁波获得能量。

它是一个不能超过光速 \(c\) 的量.

4. 3 等离子体振荡

如果使等离子体中的电子与均匀的离子本底有个位移, 将会建立电场, 其方向 是把电子拉回到它们原先的位置, 以恢复等离子体的中性. 因为电子的惯性, 它们 将冲过平衡位置, 并以特征频率围绕它们的平衡位置振荡. 这个特征频率被认为就 是等离子体频率 (plasma frequency) . 这种振荡是如此之快, 以至于重离子没有时 间响应振荡场, 而可以把它们看成是固定的. 在图 4-2 中, 空心的矩形表示典型的 离子流体元, 而阴影的矩形表示交替位移的电子流体元. 产生的电荷聚集会在空间 形成一个周期性的 \(E\) 场, 这个场趋向于使电子恢复到它们的中性位置.

我们将在最简单情况下推导等离子体频率 \(\omega_{\mathrm{p}}\) 的表达式, 作以下几个假定：

(1)不存在磁场;【圈形磁场，没有影响】

(2)不存在热运动 \((K T=0)\);【有热运动就会把振荡变成波传播出去，因为会碰到其他离子】

(3) 离子均匀分布固定在空间中; 【离子质量大，是本底】

(4)等离子体的大小为无限大; 【不考虑边界影响】

(5)电子只在 \(x\) 方向运动.

作为最后一个假定的结 果, 就有

\[\nabla=\hat{\boldsymbol{x}}\frac{\partial} { \partial x}, \quad \boldsymbol{E}=\hat{\boldsymbol{x}}, \quad \nabla \times \boldsymbol{E}=0, \quad \boldsymbol{E}=-\nabla \phi \]

因此, 不存在涨落磁场; 这是一种静电振荡.
电子的运动方程和连续性方程是

\[\begin{align} m n_{\mathrm{e}}\left[\frac{\partial v_{\mathrm{e}}}{\partial t}+\left(v_{\mathrm{e}} \cdot \nabla\right) v_{\mathrm{e}}\right] &=-e n_{\mathrm{e}} \boldsymbol{E} \tag{4-12}\\ \frac{\partial n_{\mathrm{e}}}{\partial t}+\nabla \cdot\left(n_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{e}}\right) &=0\tag{4-13} \end{align} \]

没有热运动，\(\nabla p=0\)。不考虑磁场，不含洛伦兹力。

我们只需要一个麦克斯韦方程, 就是那个不包含 \(\boldsymbol{B}\) 的方程：泊松方程. 这种情况 是 \(3.6\) 节所述的一般规则（泊松方程不能用来求出 \(\boldsymbol{E}\) ）的一个例外. 这是一种高 频振荡; 电子惯性是重要的, 在这种特定情况下, 偏离中性是主要的效应. 因此 我们写出

\[\nabla \cdot \boldsymbol{E}=\partial \boldsymbol{E} / \partial \boldsymbol{x}=4 \pi e\left(n_{\mathrm{i}}-n_{\mathrm{e}}\right)\tag{4-14} \]

用线性化的方法不难解出方程 \((4-12) \sim\) 方程 (4-14) . 线性化就是指振荡的振 幅是小量, 而且能忽略包含高价振幅因子的项.

我们首先把因变量分成两部分： 用下标 0 表示 “平衡” 部分, 用下标 1 表示扰动部分

\[n_{\mathrm{e}}=n_{0}+n_{1}, \quad v_{\mathrm{e}}=v_{0}+v_{1}, \quad \boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_{0}+\boldsymbol{E}_{1} \]

平衡量表示不存在振荡时的等离子体状态. 由于我们在电子位移前已作了静止的 均匀中性等离子体的假定, 我们有

\[\begin{aligned} &\nabla n_{0}=v_{0}=\boldsymbol{E}_{0}=0 \\ &\frac{\partial n_{0}}{\partial t}=\frac{\partial v_{0}}{\partial t}=\frac{\partial \boldsymbol{E}_{0}}{\partial t}=0 \end{aligned} \]

现在, 方程 (4-12) 变为

\(m n_{\mathrm{e}}\left[\frac{\partial v_{\mathrm{e}}}{\partial t}+\left(v_{\mathrm{e}} \cdot \nabla\right) v_{\mathrm{e}}\right] =-e n_{\mathrm{e}} \boldsymbol{E}\)

\[m\left[\frac{\partial \boldsymbol{v}_{1}}{\partial t}+\left(\boldsymbol{v}_{1}\cdot\hat{\nabla}\right) \boldsymbol{v}_{1}\right]=-e \boldsymbol{E}_{1}\\ m[\frac{\partial \boldsymbol{v}_{1}}{\partial t}]=-e \boldsymbol{E}_{1}\tag{4-17} \]

项 \(\left(v_{1} \cdot \nabla\right) v_{1}\) 被看成是振幅的二次项，我们将忽略这一项而线性化. 只要 \(\mid v\) 1 足够小, 以至于这种二次项确实可以忽略, 线性理论就是正确的. 同样, 方程 (4-13) 变成

\[\begin{align} &\frac{\partial n_{1}}{\partial t}+\nabla \cdot\left(n_{0} v_{1}+n_1\hat{v}_{1}\right)=0 \quad\Rightarrow \frac{\partial n_{1}}{\partial t}+\nabla \cdot(n_{0} v_{1})=0 \\ &\frac{\partial n_{1}}{\partial t}+n_{0} \nabla \cdot v_{1}+v_{1} \cdot \nabla\cdot{n_{0}}=0\quad \Rightarrow\frac{\partial n_{1}}{\partial t}+n_{0} \nabla \cdot v_{1}=0\tag{4-18} \end{align} \]

在泊松方程 (4-14) 中, 我们注意到, 在平衡时 \(n_{i 0}=n_{\mathrm{e} 0}\), 按照离子是固定的 假定, 就有 \(n_{\mathrm{il}}=0\), 因此

\[\nabla \cdot \boldsymbol{E}_{1}=-4 \pi e n_{1}\tag{4-19} \]

假定振荡是按正弦变化

\[\begin{aligned} &\boldsymbol{v}_{1}=v_{1} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x-\omega t)} \hat{\boldsymbol{x}} \\ &n_{1}=n_{1} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x-\omega t)} \\ &\boldsymbol{E}=E \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x-\omega t)} \hat{\boldsymbol{x}} \end{aligned} \]

因此, 时间导数 \(\partial / \partial t\) 能用一 \(\mathrm{i} \omega\) 来代替, 梯度 \(\nabla\) 可用 \(\mathrm{i} k \hat{x}\) 来代替. 方程 (4-17) ~方程 (4-19) 就变成

\[\begin{align} -\mathrm{i} m \omega v_{1}=-e E_{1}\tag{4-21} \\ -\mathrm{i} \omega n_{1}=-n_{0} \mathrm{i} k v_{1}\tag{4-22} \\ \mathrm{i} k E_{1}=-4 \pi e n_{1}\tag{4-23} \end{align} \]

例如

\(\frac {\partial n_1}{\partial x}=ikn_1\)

\(\frac{\partial n_1}{\partial t}=-i\omega n_1\)

消去 \(n_{1}\) 和 \(E_{1}\), 方程 (4-21) 变为

\[-\mathrm{i} m \omega v_{1}=-e \frac{-4 \pi e(-n_{0} \mathrm{i} k v_{1})}{\mathrm{i} k(-i\omega)}=-\mathrm{i} \frac{4 \pi n_{0} e^{2}}{\omega} v_{1} \]

如果 \(v_{1}\) 不为零, 必须有

\[\omega^{2}=4 \pi n_{0} e^{2} / m \]

因此,等离子体频率是

\[\omega_{\mathrm{p}}=\left(\frac{4 \pi n_{0} e^{2}}{m}\right)^{\frac{1}{2}} \]

\(n_c\)固有频率点\临界密度点

n随x增大而减小，\(\omega\)也随之减小。激光由右侧进入等离子体，到达\(\omega_c=\omega_L\)处，激光就不能继续向左，因为那里的频率大于激光频率。之后激光会被反射。

代人数值后, 我们能用近似公式

\[f_{\mathrm{p}} \approx 9000 \sqrt{n} \]

这个频率仅取决于等离子体密度, 它是等离子体的基本参量之一. 因为 \(m\) 小, 等离子体频率通常是很高的. 例如, 在密度为 \(n=10^{12} \mathrm{~cm}^{-3}\) 的等离子体中, 我们得到

\[f_{\mathrm{p}} \approx 10^{4}\left(10^{12}\right)^{1 / 2}=10^{10} \mathrm{~s}^{-1}=10 \mathrm{GHz} \]

\(f_{\mathrm{p}}\) 的辐射一般处于微波区. 我们可将这个频率和另外一个电子频率 \(\omega_{\mathrm{c}}\) 进行比较. 一个有用的数值公式是

\[f_{\mathrm{ce}} \approx 2.8 \mathrm{~B} \mathrm{GHz} / \mathrm{kG} \quad(B \text { 的单位为 } \mathrm{kG}) \]

这样, 如果 \(B \approx 3.5 \mathrm{kG}, n \approx 10^{12} \mathrm{~cm}^{-3}\), 回旋频率近似等于电子的等离子体频率.
方程 (4-25) 告诉我们, 如果发生一个等离子体振荡, 它必定有一个只取决 于 \(n\) 的频率. 尤其是 \(\omega\) 与 \(k\) 无关, 所以群速度 \(\mathrm{d} \omega / \mathrm{d} k\) 是零, 扰动不能传播.

振荡群速度是零，波的群速度不是零。

用力 学模拟能清楚地看到这种情况是如何发生的 (图 4-3). 设想许多重球用弹簧等距 离地悬挂在一条线上. 假如所有弹簧是相同的, 每个球将以同一个频率垂直振 荡. 要是各个球彼此之间以适当的位相启动, 就可使它们形成一个能在任何一个 方向传播的波. 频率将由弹簧来确定, 而波长则能任意选择. 在终端的两个未扰 动球将不受影响, 初始扰动并没有传播 . 像紧张的绳子一样, 行波或者驻波都可 能产生. 然而, 绳子上的波必定要传播, 因为每段绳子跟邻近各段绳子相连.

这个模拟不是十分确切的, 因为等离子体振荡具有 \(k\) 方向的运动而不具有垂 直于 \(k\) 方向的运动. 然而, 只要电子不与离子或其他电子发生碰撞, 它们仍可以 被描述成在水平方向运动的独立振子（图 4-3）. 但是, 电场怎么样? 它能否扩展到超出初始扰动的区域，并使邻近的等离子体层产生振荡呢?在我们这个简单的例子中是不行的，因为等量的无限大的正负平面电荷层产生的电场为零.在任何有限系统中，等离子体振荡将传播.在图 4-4 中，平面等离子体振荡的正和负（划上阴影）区域被约束在一个圆柱管内.边缘电场引起了一种对邻近层的扰动耦合，振荡就不停留在局部区域.

4.4电子等离子体波

存在着另一种能引起等离子体振荡传播的效应，就是热运动。以热速度流入等离子体邻近层的电子, 将携带出现在振荡区域的信息. 于是, 这种等离子体振 荡可正当地称为等离子体波. 在运动方程 (4-12) 中加上 \(\nabla p_{\mathrm{e}}\) 项就很容易处理这 个效应. 在一维问题中, 根据方程 (3-53)【\(\gamma=(2+N) / N\)，N是自由度数目】, \(\gamma\) 为 3. 因此

\[\nabla p_{\mathrm{e}}=3 K T_{\mathrm{e}} \nabla n_{\mathrm{e}}=3 K T_{\mathrm{e}} \nabla\left(n_{0}+n_{1}\right)=3 K T_{\mathrm{e}} \frac{\partial n_{1}}{\partial x} \hat{x} \]

• 由于\(\Delta p\)的存在，才会有热运动产生。

• \(n_e=n_0+n_1\)

• \(n_0=0\)

\[m n_{\mathrm{e}}\left[\frac{\partial v_{\mathrm{e}}}{\partial t}+\left(v_{\mathrm{e}} \cdot \nabla\right) v_{\mathrm{e}}\right] =-e n_{\mathrm{e}} \boldsymbol{E} \tag{4-12} \]

线性化的运动方程是

\[m n_{0} \frac{\partial v_{1}}{\partial t}=-e n_{0} E_{1}-3 K T_{e} \frac{\partial n_{1}}{\partial x}\tag{4-28} \]

注意在线性化时, 我们已经忽略了 \(n_{1} \partial v_{1} / \partial t, n_{1} E_{1}\) 以及 \(\left(v_{1} \cdot \nabla\right) v_{1}\) 项【因为很小】. 用方 程 (4-20), 可将方程 (4-28) 变成

\[-\mathrm{i} m \omega n_{0} v_{1}=-e n_{0} E_{1}-3 K T_{\mathrm{e}} \mathrm{i} k n_{1}\tag{4-29} \]

\[\begin{array}{l}\vec{v}_{1}=v_{1} e^{i(k x-\omega t)} \hat{x} \\ n_{1}=n_{1} e^{i(k x-\omega t)} \\ \vec{E}=E e^{i(k x-\omega t)} \hat{x}\tag{4-20} \end{array} \]

\(E_{1}\) 和 \(n_{1}\) 仍然由方程 (4-23) 和 (4-22) 给出

\[\begin{align} -\mathrm{i} \omega n_{1}=-n_{0} \mathrm{i} k v_{1}\tag{4-22} \\ \mathrm{i} k E_{1}=-4 \pi e n_{1}\tag{4-23} \end{align} \]

, 得到

\[\begin{array}{c} \mathrm{i} m \omega n_{0} v_{1}=\left[e n_{0}\left(\frac{-4 \pi e}{\mathrm{i} k}\right)+3 K T_{\mathrm{e}} \mathrm{i} k\right] \frac{n_{0} \mathrm{i} k}{\mathrm{i} \omega} v_{1} \\ \Downarrow\\ \omega^{2} v_{1}=\left(\frac{4 \pi n_{0} e^{2}}{m}+\frac{3 K T_{\mathrm{e}}}{m} k^{2}\right) v_{1} \\ \Downarrow\\ \omega^{2}=\omega_{\mathrm{p}}^{2}+\frac{3}{2} k^{2} v_{\mathrm{th}}^{2}\tag{4-30} \end{array} \]

其中, 【热运动速度】\(v_{\mathrm{th}}^{2} \equiv 2 K T_{\mathrm{e}} / m\).

\(\omega\)与等离子频率有关，还与热运动有关。

现在, 频率与 \(k\) 有关, 群速度是有限的

\[\begin{array} 2 \omega \mathrm{d} \omega=\frac{3}{2} v_{\mathrm{th}}^{2} 2 k \mathrm{~d} k \\ v_{\mathrm{g}}=\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} k}=\frac{3}{2} \frac{k}{\omega} v_{\mathrm{th}}^{2}=\frac{3}{2} \frac{v_{\mathrm{th}}^{2}}{v_{\phi}}\tag{4-31} \end{array} \]

\(v_{\phi}\)相速度

从方程 (4-30) 的图 4-5, 能很容易看到 \(v_{g}\) 总是小于 \(c\). 图 4-5 是由方程 (4-30) 给 出的色散关系 \(\omega(k)\) 图. 在曲线上任何一点 \(P\), 从原点到 \(P\) 点所画直线的斜率给 出相速度 \(\omega / k\), 而在 \(P\) 点处曲线的斜率给出群速度. 很清楚, 群速度总是小于 \((3 / 2)^{1 / 2} v_{\mathrm{th}}\), 而在非相对论性理论中, 它是远小于 \(c\) 的.

\(v_gv_{\phi}=\frac 3 2 v_{th}^2\)

如何得到群速度总是小于 \((3 / 2)^{1 / 2} v_{\mathrm{th}}\)❓

注意,

• 在大的 \(k\) 值（小的 \(\lambda\) 值) 时, 信息实质上以热速度传播 .【因为如果波长小，小于平均自由程，一个粒子在震动的时候碰不到另一个粒子，主要靠热运动与其他粒子碰撞。】

• 在小的 \(k\) 值 (大的 \(\lambda\) 值) 时, 即使 \(v_{\phi}\) 大于 \(v_{\text {th }}\), 信息也以远小于 \(v_{\mathrm{th}}\) 的速度传播 - 这是因为在 \(\lambda\) 大时密度梯度小, 热运动几乎 不携带什么净动量进人到邻近层中.

从朗缪尔时代起 (20 世纪 20 年代), 人们就已经知道等离子体振荡的存在. 直到 1949 年, 玻姆 (Bohm) 和格罗斯 (Gross) 提出了一个详细的理论, 才告诉 人们波怎样传播以及波怎样激发. 激发等离子体波的简便方法是将一个振荡电势 加到等离子体中的一个栅极或一组栅极上; 然而在那时, \(\mathrm{GHz}\) 范围的振荡器一般 还没有使用. 作为替代方法, 我们必须用一个电子束来激发等离子体波. 如果束 中的电子被聚集, 使得它们以频率 \(f_{\mathrm{p}}\) 通过任何固定点, 它们会产生具有那种频 率的电场, 并且激发等离子体振芴. 这并不需要预先就将电子聚集, 因为一旦发 生等离子体振荡, 它们将聚集电子, 而振荡将通过一个正反馈机制增长. 在 1954 年, 卢尼 (Looney) 和布朗 (Brown) 首先做出了验证这个理论的实验. 他们使 用的装置全部安装在直径大约为 \(10 \mathrm{~cm}\) 的玻璃球内（图 4-6）. 在低的水银蒸气压 力 \(\left(3 \times 10^{-3}\right.\) Torr \()\) 下, 阴极 \(K\) 和阳极环 \(A\) 之间的放电形成了充满这个球的等离 子体. 电子束在一个侧管中产生, 侧管中有一个负偏置的灯丝. 发射的电子加速 到 \(200 \mathrm{~V}\) 并通过小孔射人等离子体中. 用一个可移动的细探针丝拾取振荡信号, 这个探针与无线电接收器相连接. 图 4-7 示出了关于 \(f^{2}\) 与放电电流关系的实验结 果, 放电电流一般正比于密度. 实验点显示了线性关系, 和方程 (4-26) 大致符 合. 与直线的偏离可归因于方程 (4-30) 中的 \(k^{2} v_{\mathrm{th}}^{2}\) 项. 然而, 并不能观察到所有 的频率; \(k\) 只能取这样一些值, 使得半波长的整数倍恰好为等离子体柱长度. 在 图 4-7 的左边示出了驻波图形. 在这个实验中不能看到所预期的等离子体行波, 也许是因为电子束是那么细, 以至于热运动使电子离开电子束, 从而消耗了振荡 能量. 电子聚集并不在等离子体中完成, 而是在等离子体柱末端的振荡䩗中完 成. 在这个早期实验中, 我们发现再现均匀等离子体理论中所假定的条件需要相 当的技巧.

4. 5 声波

作为离子波的一个引言, 让我们简短地回顾普通空气中的声波理论. 忽略黏 滞性, 我们可把描述这些波的纳维-斯托克斯方程 (3-48) 写成

\[\rho\left[\frac{\partial v}{\partial t}+(v \cdot \nabla) v\right]=-\nabla p=-\frac{\gamma p}{\rho} \nabla \rho\tag{4-32} \]

• 没有电场
• 忽略粘性\(\to\)理想气体

连续性方程是

\[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho v)=0 \]

对具有均匀 \(p_{0}\) 和 \(\rho_{0}\) 值的稳态平衡点线性化, 我们有

\[\begin{aligned} &-\mathrm{i} \omega \rho_{0} \vec v_{1}=-\frac{\gamma p_{0}}{\rho_{0}} \mathrm{i} \vec k_{\rho_{1}} \\ &-\mathrm{i} \omega \rho_{1}+\rho_{0} \mathrm{i} \vec k \cdot \vec v_{1}=0 \end{aligned} \]

其中我们再次采用了下列形式的波

\[\exp [\mathrm{i}(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}-\omega t)] \]

对于 \(k=k \hat{x}\) 和 \(v=v \hat{x}\) 的平面波, 消去 \(\rho_{1}\), 我们发现

\[\begin{gathered} -\mathrm{i} \omega \rho_{0} v_{1}=-\frac{\gamma p_{0}}{\rho_{0}}\mathrm{i} k \frac{ \rho_{0}\mathrm{i} k v_{1}}{i\omega} \\ \omega^{2} v_{1}=k^{2} \frac{\gamma p_{0}}{\rho_{0}} v_{1} \end{gathered} \]

或者

\[\frac{\omega}{k}=\left(\frac{\gamma p_{0}}{\rho_{0}}\right)^{1 / 2}=\left(\frac{\gamma K T}{M}\right)^{1 / 2}=c_{s} \]

• M是分子的质量【一个分子？】

• 是密度波，纵波

这就是中性气体中声波速度 \(c_{\mathrm{s}}\)的表达式. 这个波是由于空气分子间的碰撞而从一 层传播到下一层的压力波. 在没有中性气体和几乎没有碰撞的等离子体中, 发生 了一种类似的现象. 这就叫做离子声波 (ion acoustic wave), 或简单地叫做离子 波 (ion wave).

4. 6 离子波

在无碰撞时, 普通声波不会发生. 然而, 离子由于它们的电荷仍然能互相传 播振动; 声波能够经电场的媒介而发生. 由于涉及质量重的离子运动, 这些波将 是低频的振荡,【\(\because \omega_{\mathrm{p}}=\left(\frac{4 \pi n_{0} e^{2}}{m}\right)^{\frac{1}{2}}\)】 我们将用 \(3.6\) 节描述的等离子体近似. 所以, 我们假定 \(n_{\mathrm{i}}=n_{\mathrm{e}}=n\), 并且不用泊松方程. 无磁场时, 离子的流体方程是

\[M n\left[\frac{\partial v_{i}}{\partial t}+\left(v_{i} \cdot \nabla\right) v_{i}\right]=e n \boldsymbol{E}-\nabla p=-e n \nabla \phi-\gamma_{i} K T_{i} \nabla n \]

因为达到热动平衡\(\Rightarrow\)等温\(\Rightarrow\)\(\frac{\nabla p}{p}=\gamma \frac{\nabla n}{n}\tag{3-52}\)

我们已经假定了 \(E=-\nabla \phi\) 并用了状态方程. 线性化并假定是平面波, 我们得到

\[-\mathrm{i} \omega M n_{0} v_{i1}=-e n_{0} \mathrm{i} k \phi_{1}-\gamma_{i} K T_{i} \mathrm{i} k n_{1}\tag{4-38} \]

就电子而论, 我们可以假定 \(m=0\), 并应用 \(3.5\) 节有关沿 \(\boldsymbol{B}\) 运动的论证, 来考虑 现在的 \(\boldsymbol{B}=0\) 情况. 所以, 电子上力的平衡要求

\[n_{\mathrm{e}}=n=n_{0} e^{ \left(\frac{e \phi_{1}}{K T_{\mathrm{e}}}\right)}=n_{0}\left(1+\frac{e \phi_{1}}{K T_{\mathrm{e}}}+\cdots\right) \]

• 是玻尔兹曼分布

• 可以展开的条件是\(e\phi_1<<KT_e\),因为德拜屏蔽\(\phi_1\)很小，自然满足。

因此, 电子密度以及离子密度的扰动是

\[n_{1}=n_{0} \frac{e \phi_{1}}{K T_{\mathrm{e}}}\tag{4-39} \]

这里玻尔兹曼关系式的 \(n_{0}\) 也代替了平衡等离子体的密度, 在平衡等离子体中, 因 为我们已经假定 \(\boldsymbol{E}_{0}=0\), 因而我们能选 \(\phi_{0}=0\). 使方程 (4-39) 线性化时, 我们已 经去掉了泰勒指数展开式中的高阶项 .
还需要的一个方程是线性化的离子连续性方程. 从方程 (4-22) 可得到

\[\mathrm{i} \omega n_{1}=n_{0} \mathrm{i} k v_{i1}\tag{4-40} \]

在方程 (4-38) 中, 我们可以用方程 (4-39) 和 (4-40) 的 \(v_{\text {il }}\) 来代替 \(\phi_{1}\) 和 \(n_{1}\), 得到

\[\begin{array}{l} \mathrm{i} \omega M n_{0} v_{\mathrm{i1}}=\left(e n_{0} \mathrm{i} k \frac{K T_{\mathrm{e}}}{e n_{0}}+\gamma_{\mathrm{i}} K T_{\mathrm{i}} \mathrm{i} k\right) \frac{n_{0} \mathrm{i} k v_{\mathrm{i1}}}{\mathrm{i} \omega} \\ \omega^{2}=k^{2}\left(\frac{K T_{\mathrm{e}}}{M}+\frac{\gamma_{\mathrm{i}} K T_{\mathrm{i}}}{M}\right) &(4-41)\\ \frac{\omega}{k}=\left(\frac{K T_{\mathrm{e}}+\gamma_{\mathrm{i}} K T_{\mathrm{i}}}{M}\right)^{1 / 2} \equiv v_{\mathrm{s}} \end{array} \]

M是离子质量

这是离子声波的色散关系. 其中, \(v_{\mathrm{s}}\) 是等离子体中的声速. 因为在我们已假定的 平面波中离子受到了一维压缩, 在这里我们可以令 \(\gamma_{i}=3\). 相对于这些波来讲, 电 子的运动是那么快, 以至于它们有时间到处等化他们的温度; 因此, 电子是等温 的, \(\gamma_{\mathrm{e}}=1\). 换句话说, 因子 \(\gamma_{\mathrm{e}}\) 应当出现在方程 (4-11) 中 \(K T_{\mathrm{e}}\) 的前面.

离子波的色散曲线（图4-12）和电子波的色散曲线（图4-5）有一个基本不同的特性.

• 等离子体振荡基本上是具有热运动修正的恒频波.离子波基本上是恒速波并且仅仅存在于有热运动存在时.对于离子波，群速度等于相速度.

下面，通过描述有关的物理机制可以看到这种差别的缘由.在电子等离子体振荡中，其他种粒子（即离子）实质上保持固定.在离子声波中，其他种粒子 (即电子) 就远不是固定的; 事实上, 电子随离子一起被拉动并趋向于屏蔽由离子的聚集而产生的电场. 然而, 这个屏蔽是不完全的, 正如我们在 \(1.4\) 节中看到的那样, 由于电子的热运动, 能漏出 \(K T_{\mathrm{e}} / e\) 量级的电势 接下来发生什么现象呢? 正如在普通声波中一样, 离子形成压缩区和稀疏区.

• 压缩区由于以下两个原因趋向于向稀疏区扩展.

  • 第一个原因, 离子热运动使离子扩展; 这个效应引起了方程 (4-41) 平方根中的第二项 .

  • 第二个原因, 离子的聚集带正电荷, 由于产生的电场而趋向于分散 . 这个电场受到电子很强的屏蔽, 仅仅只有正比于 \(K T_{\mathrm{e}}\)​ 的一部分电场作用在聚集的离子上. 这个效应引起了方程 (4-41) 平方根中的第一项 .由于离子本身的惯性, 使它的扩展运动超过平衡位置, 压缩和稀疏被再生而 形成波.

上面提到的第二个效应引起了异常的现象. 当 \(K T_{i}\) 变成零时, 离子波仍然存 在 - 这种现象在中性气体中并不发生 (方程 (4-36)). 那时, 声速由下式给出

\[v_{\mathrm{s}}=\left(K T_{\mathrm{e}} / M\right)^{1 / 2} \]

这种现象常常能在实验室等离子体中观察到, 在那里, 通常出现 \(T_{i} \ll T_{\mathrm{e}}\) 的条件. 声速 \(v_{\mathrm{s}}\) 取决于电子温度 (因为电场正比于电子温度) 和离子质量 (因为流体的惯 性正比于离子质量）.

空气声速由分子温度决定

等离子体声速主要由电子温度决定

4. 7 等离子体近似的有效性

在推导离子波的速度中, 我们用了中性条件 \(n_{\mathrm{i}}=n_{\mathrm{e}}\), 而却允许 \(\boldsymbol{E}\) 是有限量. 为了研究在这个过程中引进了多少误差, 我们让 \(n_{\mathrm{i}}\) 与 \(n_{\mathrm{e}}\) 不相同【高阶离化】, 并用线性化的 泊松方程

\[\nabla \cdot \boldsymbol{E}_{1}=k^{2} \phi_{1}=4 \pi e\left(n_{\mathrm{i1}}-n_{\mathrm{e1}}\right)\tag{4-43} \]

电子密度由线性化玻尔兹曼关系 (4-39) 给出

\[n_{\mathrm{e1}}=\frac{e \phi_{1}}{K T_{\mathrm{e}}} n_{0}\tag{4-44} \]

把它代人方程 (4-43), 得到

\[\begin{array} &\phi_{1}\left(k^{2}+\frac{4 \pi n_{0} e^{2}}{K T_{\mathrm{e}}}\right)=4 \pi e n_{\mathrm{i1}}\tag{4-45} \\ \phi_{1}\left(k^{2} \lambda_{\mathrm{D}}^{2}+1\right)=4 \pi e n_{\mathrm{i} 1} \lambda_{\mathrm{D}}^{2} \end{array} \]

离子密度由线性化的离子连续性方程 (4-40) 给出

\[n_{\mathrm{i1}}=\frac{k}{\omega} n_{0} v_{\mathrm{i1}}\tag{4-46} \]

把方程 (4-45) 和 (4-46) 代人离子运动方程 (4-38), 我们发现

\[\begin{array}{l} \mathrm{i} \omega M n_{0} v_{\mathrm{il}} =\left(e n_{0} \mathrm{i} k \frac{4 \pi e \lambda_{\mathrm{D}}^{2}}{1+k^{2} \lambda_{\mathrm{D}}^{2}}+\gamma_{\mathrm{i}} K T_{\mathrm{i}} \mathrm{i} k\right) \frac{k}{\omega} n_{0} v_{\mathrm{i1}} &\tag{4-47}\\ \omega^{2} =\frac{k^{2}}{M}\left(\frac{4 \pi n_{0} e^{2} \lambda_{\mathrm{D}}^{2}}{1+k^{2} \lambda_{\mathrm{D}}^{2}}+\gamma_{\mathrm{i}} K T_{\mathrm{i}}\right) \\ \end{array} \]

\[\begin{array}{l} \frac{\omega}{k} =\left(\frac{K T_{\mathrm{e}}}{M} \frac{1}{1+k^{2} \lambda_{\mathrm{D}}^{2}}+\frac{\gamma_{\mathrm{i}} K T_{\mathrm{i}}}{M}\right)^{1 / 2} \tag{4-48} \end{array} \]

除了因子 \(1+k^{2} \lambda_{\mathrm{D}}^{2}\) 外, 它和我们以前得到的方程 \((4-41)\) 是相同的. 假定 \(n_{\mathrm{i}}=n_{\mathrm{e}}\) 引起了 \(k^{2} \lambda_{\mathrm{D}}^{2}=\left(2 \pi \lambda_{\mathrm{D}} / \lambda\right)^{2}\) 量级的误差. 由于在大多数实验中, \(\lambda_{\mathrm{D}}\) 是非常小的, 除 了对最短波长的波以外, 等离子体近似都是正确的.

密度越高，\(\lambda_D\)越小,(4-48)就回到了离子声速。

严格推导：使用电离度\(Z\)

\(n_e=(Z+1)n_i\)

代入\(\nabla \cdot \boldsymbol{E}_{1}=k^{2} \phi_{1}=4 \pi e\left(n_{\mathrm{i1}}-n_{\mathrm{e1}}\right)\tag{4-43}\)

……

本节使用一阶离化，离化度为1？

4. 8 离子波和电子波的比较

电子波\(\omega^{2}=\omega_{\mathrm{p}}^{2}+\frac{3}{2} k^{2} v_{\mathrm{th}}^{2}\)

离子波$\omega^{2} =\frac{k^{2}}{M}\left(\frac{4 \pi n_{0} e^{2} \lambda_{\mathrm{D}}^{2}}{1+k \lambda_{\mathrm{D}}^{2}}+\gamma_{\mathrm{i}} K T_{\mathrm{i}}\right) $

如果我们考虑这些短波长的波 (取 \(k^{2} \lambda_{\mathrm{D}}^{2} \gg 1\) ), 方程 (4-47) 变成

\[\omega^{2}=k^{2} \frac{4 \pi n_{0} e^{2}}{M k^{2}}=\frac{4 \pi n_{0} e^{2}}{M}=\Omega_{\mathrm{p}}^{2} \]

为简单起见, 我们也取了 \(T_{\mathrm{i}} \rightarrow 0\) 的极限. 这里 \(\Omega_{\mathrm{p}}\) 是离子等离子体频率, 对于高频率 (短波长), 离子声波变成恒频波. 这样, 在电子等离子体波和离子声波之间存在一 种互补的形状：前者基本上是恒频的，但在大的 \(k\) 值时变成恒速的；而后者基本上 是恒速的, 但在大的 \(k\) 值时却变成恒频的. 在图 4-13 中示出了这种比较.

4. 9 垂直于 \(B\) 的静电电子振荡

迄今为止, 我们已经假定了 \(\boldsymbol{B}=0\). 当存在磁场时, 可能有更多形式的波. 我 们仅考查最简单的情形, 从垂直于磁场传播的高频, 静电电子振荡着手.

首先, 我们应当定义垂直、平行、纵向、横向、静电和电磁等术语.

• 平行和垂直将被用 来表示 \(k\) 相对于末扰动磁场 \(\boldsymbol{B}_{0}\) 的方向.
• 纵向和横向是指 \(\boldsymbol{k}\) 相对于振荡电场 \(\boldsymbol{E}_{1}\) 的 方向.
• 如果振荡磁场 \(\boldsymbol{B}_{1}\) 是零, 波是静电波; 否则, 就是电磁波.

最后两组术语由 麦克斯韦方程相联系

\[\nabla \times \boldsymbol{E}_{1}=-\dot{\boldsymbol{B}}_{1} \]

或

\[\boldsymbol{k} \times \boldsymbol{E}_{1}=\omega \boldsymbol{B}_{1} \]

如果波是纵向的, \(k \times \boldsymbol{E}_{1}\) 变零, 波也为静电波; 如果波是横向的, \(\boldsymbol{B}_{1}\) 为有限的 值, 波为电磁波. 当然, \(k\) 可能与 \(\boldsymbol{B}_{0}\) 或 \(\boldsymbol{E}_{1}\) 成任意角度. 于是, 应当有这里所列 出的主模的混合.
回到垂直于 \(\boldsymbol{B}_{0}\) 的电子振荡, 我们将假定, 离子太重以至于不能以所包含的 频率运动, 它们就形成一个固定、均匀的正电荷本底. 我们也将忽略热运动并且 令 \(K T_{\mathrm{e}}=0\). 平衡等离子体照例有恒定和均匀的 \(n_{0}, \boldsymbol{B}_{0}\), 并且 \(\boldsymbol{E}_{0}\) 和 \(v_{0}\) 为零. 那 时, 电子运动受下列线性化方程所支配

\[\begin{align} &m \frac{\partial v_{\mathrm{e1}}}{\partial t}=-e\left(\boldsymbol{E}_{1}+v_{\mathrm{e1}} \times \boldsymbol{B}_{0}\right)\tag{4-52} \\ &\frac{\partial n_{\mathrm{e1}}}{\partial t}+n_{0} \nabla \cdot v_{\mathrm{e1}}=0 \tag{4-53}\\ &\nabla \cdot \boldsymbol{E}_{1}=-4 \pi e n_{\mathrm{e1}}\tag{4-54} \end{align} \]

我们将只考虑 \(k \| \boldsymbol{E}_{1}\) 的纵波. 我们可选择 \(x\) 轴指向 \(\boldsymbol{k}\) 和 \(\boldsymbol{E}_{1}\) 方向, \(z\) 轴指向 \(\boldsymbol{B}_{0}\) 方向（图 4-18）,

这样做无损于普遍性. 这样, \(k_{y}=k_{z}=E_{y}=E_{z}=0, k=k \hat{x}\), \(\boldsymbol{E}=\hat{\boldsymbol{x}}\). 去掉下标 1 和 e, 并将方程 (4-52) 写成分量形式, 我们得到

\[\begin{align} &-\mathrm{i} \omega m v_{x}=-e E-e v_{y} B_{0}\tag{4-55} \\ &-\mathrm{i} \omega m v_{y}=e v_{x} B_{0} \tag{4-56}\\ &-\mathrm{i} \omega m v_{z}=0\tag{} \end{align} \]

解出方程 (4-56) 中的 \(v_{y}\), 并代人方程 (4-55), 就有

\[\begin{align} &\mathrm{i} \omega m v_{x}=e E+e B_{0} \frac{\mathrm{i} e \mathrm{~B}_{0}}{m \omega} v_{x} \\ &v_{x}=\frac{e \mathrm{E} / \mathrm{i} m \omega}{1-\omega_{\mathrm{c}}^{2} / \omega^{2}}\tag{4-57} \end{align} \]

应当注意, 在回旋共振时 \(\left(\omega=\omega_{\mathrm{c}}\right), v_{x}\) 变成无穷大. 这正是所期望的, 因为电场 随着 \(v_{x}\) 改变符号, 因而, 连续不断地加速电子. (当 \((v \cdot \nabla) v\) 和 \(\nabla p\) 项两者都 忽略时, 流体方程和单粒子方程是相同的; 所有粒子一起运动 .) 从方程 (4-53) 的线性化形式, 我们得到

\[n_{1}=\frac{k}{\omega} n_{0} v_{x}\tag{4-58} \]

将方程 (4-54) 线性化, 并用最后两个结果, 可得到

\[\begin{align} &\mathrm{i} k E=-4 \pi e \frac{k}{\omega} n_{0} \frac{e E}{\mathrm{i} m \omega}\left(1-\frac{\omega_{\mathrm{c}}^{2}}{\omega^{2}}\right)^{-1} \\ &\left(1-\frac{\omega_{\mathrm{c}}^{2}}{\omega^{2}}\right) E=\frac{\omega_{\mathrm{p}}^{2}}{\omega^{2}} E&\tag{4-59} \end{align} \]

因此, 色散关系是

\[\omega^{2}=\omega_{\mathrm{p}}^{2}+\omega_{\mathrm{c}}^{2} \equiv \omega_{\mathrm{h}}^{2}\tag{4-60} \]

回旋频率\(\omega_{c}=\frac{|q| B}{m}\)

频率 \(\omega_{\mathrm{h}}\) 称为上杂化频率（upper hybrid frequency）. 穿过 \(\boldsymbol{B}\) 传播的静电电子波具 有这个频率，而沿着 \(\boldsymbol{B}\) 传播的那些波通常是 \(\omega=\omega_{\mathrm{p}}\) 的等离子体振荡. 只要忽略热 运动, 群速度再次为零.

这个振荡的物理图像在图 4-19 中示出. 像在等离子体振荡中一样, 平面波中 的电子形成压缩和稀疏的区域. 然而, 现在有一 \(\boldsymbol{B}\) 场垂直于运动, 洛伦兹力使轨 道变成椭圆 . 作用在电子上有两个恢复力: 静电力和洛伦兹力. 恢复力的增加使 频率大于等离子体振荡的频率.

• 当磁场趋向于零时, 方程 (4-60) 中的 \(\omega_{\mathrm{c}}\) 趋向于 零, 就又回到等离子体振荡.
• 当等离子体密度趋向零, \(\omega_{p}\) 趋向零, 由于静电力随 密度趋于零而消失, 我们得到一个简单的拉莫尔回转.【第二章内容】

由穿过磁场的微波透射, 已经从实验上证明了上杂化频率的存在. 当改变等 离子体密度, 在 \(\omega_{\mathrm{h}}\) 等于外加频率所对应的密度时, 通过等离子体的透射急剧下 降. 这是因为上杂化振荡被激发, 并从束中吸收能量. 从方程 (4-60), 我们求出 \(\omega_{\mathrm{c}}^{2} / \omega^{2}\) 和密度之间的线性关系

\[\frac{\omega_{\mathrm{c}}^{2}}{\omega^{2}}=1-\frac{\omega_{\mathrm{p}}^{2}}{\omega^{2}}=1-\frac{4 \pi n e^{2}}{m \omega^{2}} \]

由图 4-20 的实验点得到这种线性关系, 其中画出了 \(\omega_{\mathrm{c}}^{2} / \omega^{2}\) 对放电电流的图, 后者 与 \(n\) 成比例.

4. \(12 B_{0}=0\) 的电磁波

下一个比较复杂的波是 \(\boldsymbol{B}_{1} \neq 0\) 的波. 它们是横向电磁波一一通过等离子体传 播的光波或无线电波.

• 【真空中】我们从简单地复习真空中的光波开始. 由于真空中 \(j=0\) 和 \(\epsilon=\mu=1\), 有关的麦克斯韦方程是

\[\begin{align} &\nabla \times \boldsymbol{E}_{1}=-\dot{\boldsymbol{B}}_{1}\tag{4-72}\\ &c^{2} \nabla \times \boldsymbol{B}_{1}=\dot{\boldsymbol{E}}_{1}&\tag{4-73} \end{align} \]

取方程 (4-73) 的旋度, 并代人到方程 (4-72) 的时间微商中, 就得到

\[c^{2} \nabla \times\left(\nabla \times \boldsymbol{B}_{1}\right)=\nabla \times \dot{\boldsymbol{E}}_{1}=-\ddot{\boldsymbol{B}}_{1} \]

再次假定平面波以 \(\exp [\mathrm{i}(k x-\omega t)]\) 变化, 得到

\[\omega^{2} \boldsymbol{B}_{1}=-c^{2} \boldsymbol{k} \times\left(\boldsymbol{k} \times \boldsymbol{B}_{1}\right)=-c^{2}\left[\boldsymbol{k}\left(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{B}_{1}\right)-\boldsymbol{k}^{2} \boldsymbol{B}_{1}\right] \]

由于从另一个麦克斯韦方程得到 \(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{B}_{1}=-\mathrm{i} \nabla \cdot \boldsymbol{B}_{1}=0\), 结果是

\[\omega^{2}=k^{2} c^{2}\tag{4-76} \]

\(c\) 是光波的相速度 \(\omega / k\).

• 【等离子体中】在 \(\boldsymbol{B}_{0}=0\) 的等离子体中, 方程 (4-72) 不变, 但是考虑到一阶带电粒子运动 引起的电流, 我们必须在方程 (4-73) 中加上 \(4 \pi j_{1}\) 项

\[\begin{align} &\nabla \times \boldsymbol{E}_{1}=-\dot{\boldsymbol{B}}_{1}\tag{4-72}\\ &c^{2} \nabla \times \boldsymbol{B}_{1}=\dot{\boldsymbol{E}}_{1}&\tag{4-73} \end{align} \]

, 则

\[c^{2} \nabla \times \boldsymbol{B}_{1}=4 \pi \boldsymbol{j}_{1}+\dot{\boldsymbol{E}}_{1}\tag{4-77} \]

这个式子对时间的微商是

\[c^{2} \nabla \times \dot{\boldsymbol{B}}_{1}=4 \pi \frac{\partial \boldsymbol{j}_{1}}{\partial t}+\ddot{\boldsymbol{E}}_{1}\tag{4-78} \]

而方程 (4-72) 的旋度是

\[\nabla \times\left(\nabla \times \boldsymbol{E}_{1}\right)=\nabla\left(\nabla \cdot \boldsymbol{E}_{1}\right)-\nabla^{2} \boldsymbol{E}_{1}=-\nabla \times \dot{\boldsymbol{B}}_{1}\tag{4-79} \]

消去 \(\nabla \times \dot{B}_{1}\), 并假定波有 \(\exp [\mathrm{i}(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}-\omega t)]\) 关系, 我们有

\[-\boldsymbol{k}\left(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{E}_{1}\right)+k^{2} \boldsymbol{E}_{1}=\frac{4 \pi \mathrm{i} \omega}{c^{2}} \boldsymbol{j}_{1}+\frac{\omega^{2}}{c^{2}} \boldsymbol{E}_{1}\tag{4-80} \]

\[\begin{align} c^{2} \nabla \times \dot{\boldsymbol{B}}_{1}&=4 \pi \frac{\partial \boldsymbol{j}_{1}}{\partial t}+\ddot{\boldsymbol{E}}_{1}\tag{4-78}\\ -c^2(\nabla(\nabla\vdot \vec E_1)-\nabla^2\vec E_1)&=4 \pi \frac{\partial \vec{j}_{1}}{\partial t}+\ddot{\vec {E}}_{1}\\ -c^2(-\vec k(\vec k\cdot \vec E_1 )+k^2\vec E_1)&=4\pi[(-\omega\vec {j_1})-(\omega^2\vec E_1)]\\ -(-\vec k(\vec k\cdot \vec E_1 )+k^2\vec E_1)&=\frac{4\pi}{c^2}[(-\omega\vec {j_1})-(\omega^2\vec E_1)]\\ -\vec k(\vec k\cdot \vec E_1 )+k^2\vec E_1&=\frac{4\pi}{c^2}[(\omega\vec {j_1})+(\omega^2\vec E_1)] \end{align} \]

按照横波的意义, 有 \(k \cdot E_{1}=0\), 所以上式变成

\[\left(\omega^{2}-c^{2} k^{2}\right) \boldsymbol{E}_{1}=-4 \pi \mathrm{i} \omega \boldsymbol{j}_{1}\tag{4-81} \]

如果我们考虑光波或微波, 它们将具有如此高的频率, 以至于离子可考虑成固定 的. 于是电流 \(j_{1}\) 完全来自电子运动【频率很高，离子来不及运动，是固定的，\(v_i=0\)，\(v=v_e-v_i=v_e\)】

\[\boldsymbol{j}_{1}=-n_{0} e v_{\mathrm{el}} \]

从线性化的电子运动方程, (对 \(K T_{\mathrm{e}}=0\) ) 【不考虑热运动，热运动等于0，没有压强，只取决于电场】得到

\[\begin{aligned} &m \frac{\partial v_{\mathrm{e1}}}{\partial t}=-e \boldsymbol{E} \\ &v_{\mathrm{e1}}=\frac{e \boldsymbol{E}_{1}}{\mathrm{i} m \omega} \end{aligned} \]

现在, 方程 (4-81) 可写成

\[\left(\omega^{2}-c^{2} k^{2}\right) \quad \boldsymbol{E}_{1}=4 \pi \mathrm{i} \omega n_{0} e \frac{e \mathbf{E}_{1}}{\mathrm{i} m \omega}=\frac{4 \pi n_{0} e^{2}}{m} \boldsymbol{E}_{1}\tag{4-84} \]

式中的右边项可以认为是 \(\omega_{\mathrm{p}}^{2}\) 的表达式, 结果为

\[\omega^{2}=\omega_{\mathrm{p}}^{2}+c^{2} k^{2}\tag{4-85} \]

这是在没有直流磁场的等离子体中传播的电磁波的色散关系. 可以看到, 真空中 的关系式 (4-76) 被一个描述等离子体振荡的 \(\omega_{\mathrm{p}}^{2}\) 项所修改. 等离子体中光波的相 速度大于光速

\[v_{\phi}^{2}=\frac{\omega^{2}}{k^{2}}=c^{2}+\frac{\omega_{p}^{2}}{k^{2}}>c^{2} \]

然而, 群速度不能超过光速. 从方程 (4-85), 我们求得

\[\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} k}=v_{\mathrm{g}}=\frac{c^{2}}{v_{\mathrm{\phi}}} \]

\(v_{\phi}\) 总是大于 \(c\), 所以 \(v_{\mathrm{g}}\) 小于 \(c\). 色散关系 (4-85) 在 图 4-27 中示出. 这个图与等离子体波的图 4-5 相 似, 但是色散关系实际上是非常不同的, 因为图 4-27中的渐近速度 \(c\) 远大于图 4-5 中的热速度 \(v_{\mathrm{th}}\).

更重要的是在波阻尼上存在差别. 具有大 \(k v_{\mathrm{th}}\) 的等 离子体波被高度阻尼, 这点我们将从第 7 章的动力 学理论中得到. 另外, 在大的 \(k c\) 时, 电磁波变成普 通的光波, 而在这种极限下, 它不因等离子体的存 在而阻尼.

类似于方程 (4-85) 的色散关系显示出一种称作截止 (cutoff) 的现象. 如果 我们通过等离子体发送一个给定频率 \(\omega\) 的微波束, 在等离子体中的波长 \(2 \pi / k\) 将 取方程 (4-85) 所规定的值. 当增加等离子体密度, 也就是 \(\omega_{\mathrm{p}}^{2}\) 上升时, \(k^{2}\) 必定会 减少, 波长变得越来越长; 最后, 将达到使 \(k^{2}\) 为零的密度. 对大于这个值的密 度, 方程 (4-85) 对任何实数 \(k\) 都不能满足, 波不能传播. 这个截止条件发生在 \(\omega=\omega_{\mathrm{p}}\) 的临界密度 \(n_{\mathrm{c}}\), 也就是 (从方程 (4-25) 得到)

\[n_{\mathrm{c}}=m \omega^{2} / 4 \pi e^{2} \]

如果 \(n\) 太大或 \(\omega\) 太小, 一个电磁波不能通过等离子体. 当这种情况发生时, 方程 (4-85) 告诉我们 \(k\) 是虚数

\[c k=\left(\omega^{2}-\omega_{\mathrm{p}}^{2}\right)^{1 / 2}=\mathrm{i}\left|\omega_{\mathrm{p}}^{2}-\omega^{2}\right|^{1 / 2} \]

由于波有空间的依赖性 \(\exp (\mathrm{i} k x)\), 如果 \(k\) 是虚数, 它将指数衰减. 趋肤深度 \(\delta\) 可 按如下方法得到

\[\mathrm{e}^{i k x}=\mathrm{e}^{-|k| x}=\mathrm{e}^{-x / \delta}, \quad \delta=|k|^{-1}=\frac{c}{\left(\omega_{\mathrm{p}}^{2}-\omega^{2}\right)^{1 / 2}}\tag{4-90} \]

对大多数实验室等离子体, 截止频率处于微波区域.