【笔记】第三章 作为流体的等离子体

3. 1 引言

在等离子体中, 情况远比第 2 章所述的复杂; \(\boldsymbol{E}\) 场和 \(\boldsymbol{B}\) 场不能事先规定, 而 应由带电粒子本身的位置和运动来决定. 我们必须解一个自恰问题 (self-consistent problem), 即找出这样一组粒子轨道和场模式, 使得粒子沿着它们的轨道运 动时产生场, 而场使粒子在它们的确切轨道上运动. 而我们又必须在随时间变化 的情况下解出这个问题!
我们已经看到, 典型等离子体密度可以达到每立方厘米含 \(10^{12}\) 离子-电子对. 如果每一个粒子都遵循一条复杂的轨道, 并且需要跟踪每一条这样的轨道, 则导 出等离子体的行为将是一个没有希望的工作.

目前，描述等离子体的方法主要有以下几种：
粒子模拟（PIC）：追踪每个粒子，粒子在其它粒子产生的场和外场中运动，并改变场；改变的场使得粒子沿着新的轨道运动，循环。
动力学描述方法：求解波尔兹曼方程或V1asov方程。
流体力学描述：求解磁流体力学方程。

幸好, 这种工作通常是不必要的, 因为出人意料的是, 用一个相当粗糙的模型能解释实际实验中所观察到的大多数 (也许多达 \(80 \%\) ) 等离子体现象. 这个模型是流体力学中所用的模型, 在那里忽 略了个别粒子的本性, 而只考虑流体元的运动. 当然, 在等离子体情形中, 流体 包含电荷. 在一种普通的流体中, 粒子间的频繁碰撞使得流体元中的粒子一起运 动. 令人惊奇的是, 这样一个模型适用于一般不发生频繁碰撞的等离子体. 但是 我们将看到, 这种处理是有理由的.

流体力学描述又分为三种：
磁流体力学方法；
流体动力学方法；
解析的相似方法。

本书的大部分将叙述等离子体流体理论所能研究的内容. 更完善的处理方法 (等离子体动力学理论 (the kinetic theory of plasma)) 需要较多的数学计算, 以 至于它不宜在人门课程中探讨, 第 7 章给出了动力学理论的介绍.
在某些等离子体问题中, 流体理论和动力学理论都不足以描述等离子体行 为 - 这时, 我们必须返回到跟踪个别粒子轨道这种烦琐的过程. 现代计算机能够 做到这一点, 虽然它们只能存储大约 \(10^{4}\) 粒子的位置和速度分量, 而且除了几种 情况外, 仅能解决一维和二维的问题. 甚至在动力学理论也不能很好地解释观察 到的现象的那些实例中, 计算机模拟却在弥合理论和实验间的差距上逐渐起到了 重要的作用.

3. 2 等离子体物理学与普通电磁学的关系

3. 2.1 麦克斯韦方程组 (用静电单位制)

在真空中

\[\begin{gathered} \nabla \cdot \boldsymbol{E}=4 \pi \sigma&(3-1) \\ \nabla \times \boldsymbol{E}=-\dot{\boldsymbol{B}}&(3-2) \\ \nabla \cdot \boldsymbol{B}=0 &(3-3)\\ c^{2} \nabla \times \boldsymbol{B}=4 \pi \boldsymbol{j}+\dot{\boldsymbol{E}}&(3-4) \end{gathered} \]

在介质中

\[\begin{gathered} \nabla \cdot \boldsymbol{D}=4 \pi \sigma&(3-5) \\ \nabla \times \boldsymbol{E}=-\dot{\boldsymbol{B}}&(3-6) \\ \nabla \cdot \boldsymbol{B}=0 &(3-7)\\ c^{2} \nabla \times \boldsymbol{H}=4 \pi \boldsymbol{j}+\dot{\boldsymbol{D}} &(3-8)\\ \boldsymbol{D}=\in \boldsymbol{E}&(3-9) \\ \boldsymbol{B}=\mu \boldsymbol{H}&(3-10) \end{gathered} \]

在方程 (3-5) 和方程 (3-8) 中, \(\sigma\) 和 \(j\) 代表 “自由”电荷和电流密度. 由媒质的 极化和磁化引起的 “束缚” 电荷和电流密度包括在量 \(\boldsymbol{D}\) 和 \(\boldsymbol{H}\) 的定义中（用 \(\in\) 和 \(\mu\) 表示）. 在等离子体中, 组成等离子体的离子和电子等价于 “束缚” 电荷和电 流. 由于这些电荷的复杂运动, 试图将它们的影响集中为两个常数 \(\in\) 和 \(\mu\) 是不实 际的. 因此, 在等离子体物理学中, 我们一般使用真空中的方程 (3-1) ~方程 (3-4), 而在方程中, \(\sigma\) 和 \(j\) 包括外部和内部的所有电荷和电流.
注意到我们用了真空方程中的 \(\boldsymbol{E}\) 和 \(\boldsymbol{B}\), 而不是用当 \(\epsilon=\mu=1\) 时和它们等价的 \(\boldsymbol{D}\) 和 \(\boldsymbol{H}\). 这是因为甚至在 \(\epsilon\) 和 \(\mu\) 不等于 1 时, 力 \(q \boldsymbol{E}\) 和 \(\boldsymbol{j} \times \boldsymbol{B}\) 亦取决于 \(\boldsymbol{E}\) 和 \(\boldsymbol{B}\), 而 不取决于 \(\boldsymbol{D}\) 和 \(\boldsymbol{H}\), 而力才是实际的可测量.

3. 2.2 磁性材料的经典处理

由于每个回转粒子都有一个磁矩, 看来将等离子体考虑为具有磁导率 \(\mu_{\mathrm{m}}\) 的 性材料似乎是合乎逻辑的事情（我们在磁导率上加上下标 \(\mathrm{m}\), 以区别于绝热不变量 \(\mu\) ) . 为了了解实际上为什么不这样处理, 先让我们评述通常处理磁性材料 的方法.
比如, 具有磁矩 \(\mu_{i}\) 的一块铁的磁畴引起单位体积的体磁化为

\[\boldsymbol{M}=\frac{1}{V} \sum_{i} \boldsymbol{\mu}_{i}\tag{3-11} \]

它与束缚电流密度

\[\boldsymbol{j}_{\mathrm{b}}=c^{2} \nabla \times \boldsymbol{M}\tag{3-12} \]

的作用是相同的. 在真空方程 (3-4) 中, 我们必须在 \(j\) 中包括这个电流和“自 由” (或外加的) 电流 \(j_{f}\) :

\[c^{2} \nabla \times \boldsymbol{B}=4 \pi\left(\boldsymbol{j}_{\mathfrak{f}}+\boldsymbol{j}_{\mathrm{b}}\right)+\dot{\boldsymbol{E}}\tag{3-13} \]

\[\begin{align} c^{2} \nabla \times \boldsymbol{B}-4\pi \boldsymbol{j}_{\mathrm{b}}&=4 \pi\boldsymbol{j}_{\mathrm{f}}+\dot{\boldsymbol{E}}\tag{3-13}\\ c^{2} \nabla \times \boldsymbol{B}-4\pi (c^{2} \nabla \times \boldsymbol{M})&=4 \pi\boldsymbol{j}_{\mathrm{f}}+\dot{\boldsymbol{E}}\\ c^{2} \nabla \times(\boldsymbol{B}-4 \pi \boldsymbol{M})&=4 \pi \boldsymbol{j}_{f}+\dot{E} \end{align} \]

通过在 \(\boldsymbol{H}\) 定义中包括 \(\boldsymbol{j}_{\mathrm{b}}\), 把方程（3-13）写成简单形式

\[c^{2} \nabla \times \boldsymbol{H}=4 \pi \boldsymbol{j}_{\mathrm{f}}+\dot{\boldsymbol{E}}\tag{3-14} \]

倘若我们令

\[\boldsymbol{H}=\boldsymbol{B}-4 \pi \boldsymbol{M} \]

就能做到这一点. 为了给出 \(\boldsymbol{B}\) 和 \(\boldsymbol{H}\) 之间的简单关系式, 我们假定 \(\boldsymbol{M}\) 正比于 \(\boldsymbol{B}\) 或 \(\boldsymbol{H}\)

\[\boldsymbol{M}=\chi_{\mathrm{m}} \boldsymbol{H}\tag{3.16} \]

常数 \(\chi_{\mathrm{m}}\) 为磁化率. 我们现在得到

\[\boldsymbol{B}=\left(1+4 \pi \chi_{\mathrm{m}}\right) \boldsymbol{H} \equiv \mu_{\mathrm{m}} \boldsymbol{H}\tag{3.17} \]

因为方程 (3-16) 有线性形式, \(\boldsymbol{B}\) 和 \(\boldsymbol{H}\) 之间的这种简单关系是可能的.
在具有磁场的等离子体中, 每个粒子有磁矩 \(\boldsymbol{\mu}_{\alpha}\), 量 \(\boldsymbol{M}\) 是 \(1 \mathrm{~cm}^{3}\) 中所有 \(\boldsymbol{\mu}_{\alpha}\) 的 和. 但现在

\[\mu_{\alpha}=\frac{m v_{\perp \alpha}^{2}}{2 B} \propto \frac{1}{B}, \quad M \propto \frac{1}{B} \]

\(\boldsymbol{M}\) 和 \(\boldsymbol{H}\) （或 \(\boldsymbol{B}\) ）之间的关系不再是线性的, 我们就不能写成 \(\boldsymbol{B}=\mu_{\mathrm{m}} \boldsymbol{H}\left(\mu_{\mathrm{m}}\right.\) 为常 数）. 因此, 把等离子体考虑为磁介质是没有用的.

3.2.3 电介质的经典处理

单位体积的极化度 \(\boldsymbol{P}\) 是所有电偶极子各极矩 \(\boldsymbol{P}_{i}\) 的总和. 它引起一个束缚电荷 密度

\[\sigma_{\mathrm{b}}=-\nabla \cdot \boldsymbol{P}\tag{3.18} \]

在真空方程 (3-1) 中, 必须包括束缚电荷和自由电荷

\[\nabla \cdot \boldsymbol{E}=4 \pi\left(\sigma_{\mathrm{f}}+\sigma_{\mathrm{b}}\right)\tag{3.19} \]

\[\begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{E}&=4 \pi\left(\sigma_{\mathrm{f}}+\sigma_{\mathrm{b}}\right)\tag{3.19}\\ \nabla \cdot \boldsymbol{E}-4\pi\sigma_b&=4\pi\sigma_f\\ \nabla \cdot \boldsymbol{E}+4\pi\nabla \cdot \boldsymbol{P}&=4\pi\sigma_f\\ \nabla\cdot(\boldsymbol{E}+4\pi \boldsymbol{P})&=4\pi\sigma_f\\ \nabla\cdot\boldsymbol{D}&=4\pi\sigma_f \end{align} \]

我们希望通过在 \(\boldsymbol{D}\) 的定义中包括 \(\sigma_{\mathrm{b}}\), 能将方程 (3-19) 写成下面的简单形式, 即

\[\nabla \cdot \boldsymbol{D}=4 \pi \sigma_{f} \]

令

\[\boldsymbol{D}=\boldsymbol{E}+4 \pi \boldsymbol{P} \equiv \epsilon \boldsymbol{E}\tag{3-21} \]

就能做到这一点.

如果 \(\boldsymbol{P}\) 线性正比于 \(\boldsymbol{E}\), 即

\[\boldsymbol{P}=\chi_{\mathrm{e}} \boldsymbol{E}\tag{3-22} \]

那么, \(\in\) 是常数

\[\epsilon=1+4 \pi \chi_{\mathrm{e}}\tag{3-23} \]

因为没有先验理由说, 在等离子体中像方程 (3-22) 这样的关系式不能成立, 所 以我们可以尝试给出等离子体中 \(\in\) 的表达式.

由于在等离子体中，电荷的极化(产生分离场)的确与电场成正比，因此在等离子体中象(3-22)这样的关系式能够成立，所以，我们可以尝试给出等离子体中 \(\in\)的表达式。

3. 2.4 等离子体的介电常数

我们在第 \(2.5\) 节已经看到, 一个涨落的 \(\boldsymbol{E}\) 场能引起极化电流 \(\boldsymbol{j}_{\mathrm{p}} .\) 它

\[j_{\mathrm{p}}=n e\left(v_{\mathrm{ip}}-v_{\mathrm{ep}}\right)=\frac{n e}{e B^{2}}(M+m) \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{E}}{\mathrm{d} t}=\frac{\rho}{B^{2}} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{E}}{\mathrm{d} t}\tag{2-67} \]

又由连续 性方程

\[\frac{\partial \sigma_{\mathrm{p}}}{\partial t}+\nabla \cdot \boldsymbol{j}_{\mathrm{p}}=0\tag{3.24} \]

给出极化电荷. 正如我们在前面注意到的那样, 在等离子体中, 极化效应是不出 现的（除非电场随时间变化）. 除了这点以外, 方程 (3-24) 和方程 (3-18) 是等 价的.

\(\sigma_{\mathrm{b}}=-\nabla \cdot \boldsymbol{P}\quad(3.18)\)

由于我们有 \(j_{\mathrm{p}}\) 的明显表达式, 但 \(\sigma_{\mathrm{p}}\) 则没有, 用第四个麦克斯韦方程 (3-4) 来运算就比较容易

\(c^{2} \nabla \times \boldsymbol{B}=4 \pi \boldsymbol{j}+\dot{\boldsymbol{E}}\quad(3.4)\)

\[c^{2} \nabla \times \boldsymbol{B}=4 \pi\left(\boldsymbol{j}_{\boldsymbol{f}}+\boldsymbol{j}_{\mathrm{p}}\right)+\dot{\boldsymbol{E}} \]

我们希望将这个式子写成如下形式

\[c^{2} \nabla \times \boldsymbol{B}=4 \pi \boldsymbol{j}_{\mathrm{f}}+\in \dot{\boldsymbol{E}} \]

如果令

\[\epsilon=1+\frac{4 \pi j_{\mathrm{P}}}{\dot{E}} \]

就能做到这一点.

\[c^{2} \nabla \times \boldsymbol{B}=4 \pi\left(\boldsymbol{j}_{\boldsymbol{f}}+\boldsymbol{j}_{\mathrm{p}}\right)+\dot{\boldsymbol{E}} \\c^{2} \nabla \times \vec{B}=4 \pi \vec{j}_{f}+4 \pi \frac{\rho}{B^{2}} \dot{E}+\dot{E} \\ c^{2} \nabla \times \vec{B}=4 \pi \vec{j}_{f}+\left(1+4 \pi \frac{\rho}{B^{2}}\right) \dot{E} \]

从 \(\boldsymbol{j}_{\mathrm{p}}\) 的方程 (2-67), 我们得到

\[\epsilon=1+\frac{4 \pi \rho}{B^{2}}\tag{3-28} \]

这就是横向运动的低频等离子体介电常数（low frequency plasma dielectric constant for transverse motions）. 加上这些形容词是必要的, 因为仅对于 \(\omega^{2} \ll \omega_{\mathrm{c}}^{2}\) 【电磁场频率要小于等离子体固有频率才能进入】和 \(\boldsymbol{E}\) 垂直于 \(\boldsymbol{B}\) 的情况, 我们所用的表达式才是正确的. 当然, \(\in\) 的一般表达式是非 常复杂的, 而且很难在一页中写完.
注意到 \(\rho \rightarrow 0\) 时,【相当于没有等离子体】 \(\in\) 如它所应该的那样接近于它的真空值 1 . 当 \(B \rightarrow \infty\) 时, \(\in\) 也接近于 1 . 这是因为极化漂移 \(v_{\mathrm{p}}\) 在那时变为零, 粒子并不响应横向电场而运 动.

在通常的实验室等离子体中, 方程 (3-28) 中的第二项大于 1. 例如, 如果 \(n=10^{10} \mathrm{~cm}^{-3}, B=1 \mathrm{kG}\), (对氢) 就有

\[\frac{4 \pi \rho c^{2}}{B_{\mathrm{G}}^{2}}=\frac{12.6 \times 10^{10} \times\left(1.67 \times 10^{-24}\right) \times\left(9 \times 10^{20}\right)}{10^{6}}=189 \]

这说明等离子体中粒子产生的电场极大地改变了外加场. 正像具有小 \(\lambda_{\mathrm{D}}\) 的等离子 体屏蔽直流电场一样, 一个具有很大 \(\in\) 的等离子体屏蔽了交变场

3. 3 流体运动方程

麦克斯韦方程告诉我们, 对给定的等离子体态, \(\boldsymbol{E}\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 是什么. 为了解这个 自洽问题, 我们也必须有一个方程, 它给出等离子体对给定 \(\boldsymbol{E}\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 的响应. 在流 体近似中, 我们认为等离子体是由两个或更多相互贯穿的流体 (interpenetrating fluids）所组成（每个种类算一种流体）. 在最简单的情况下, 当只有一种离子 时, 我们将需要两个运动方程, 一个是带正电的离子流体方程, 另一个是带负电 的电子流体方程. 在部分电离的气体中, 我们还将需要一个中性原子的流体方 程 . 中性流体仅通过碰撞才同离子和电子相互作用. 而离子和电子流体甚至在无 碰撞时彼此也有相互作用, 因为它们产生 \(\boldsymbol{E}\) 场和 \(\boldsymbol{B}\) 场 .

3.3.1 运流微商

单粒子的运动方程是

\[m \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=q(\boldsymbol{E}+v \times \boldsymbol{B})\tag{3-29} \]

首先假定不存在碰撞和热运动, 那时流体元中的所有粒子一起运动, 在流体之 中, 粒子的平均速度 \(\boldsymbol{u}\) 和个别粒子速度 \(\boldsymbol{v}\) 是相同的. 简单地用密度 \(n\) 乘方程 (3-29), 就可得到流体方程

\[m n \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{u}}{\mathrm{d} t}=q n(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{B})\tag{3-30} \]

然而, 对使用来讲, 这不是一种方便的形式. 在方程 (3-29) 中, 对时间的微商 将在随粒子运动的坐标系中 (in the frame moving with the particle) 取得. 另外, 我们希望得到一个固定在空间中 (fixed in space) 的流体元方程, 因为在其他坐 标系中进行运算总是不实际的. 将一杯咖啡中的一滴乳酪作为流体元, 当搅拌咖 啡时, 这滴乳酪变形成细丝, 并最后在整个杯子中完全散开, 损失它的本体. 然 而, 在杯中一个固定点的流体元, 虽然粒子连续地进人和离开这个流体元, 但始 终保持它的本体.

为了变换到固定坐标系中, 考虑 \(G(x, t)\) 是一维 \(x\) 空间中流体的任何性质. 在随流体运动的坐标系中, \(G\) 随时间的变化是两项之和

\[\frac{d \vec{G}(x, t)}{d t}=\frac{\partial \vec{G}}{\partial t}+\frac{\partial \vec{G}}{\partial x} \frac{d x}{d t}=\frac{\partial \vec{G}}{\partial t}+u_{x} \frac{\partial \vec{G}}{\partial x}\tag{3-31} \]

其中, 右边的第一项代表在空间固定点 \(G\) 的变化, 第二项代表当观察者随流体运 动进入不同 \(\boldsymbol{G}\) 区域时 \(\boldsymbol{G}\) 的变化. 在三维时, 方程 (3-31) 推广成

\[\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{G}}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial \boldsymbol{G}}{\partial t}+(\boldsymbol{u} \cdot \nabla) \boldsymbol{G}\tag{3-32} \]

这就叫做运流微商, 有时也写成

\[\frac{\mathrm{D}\boldsymbol{G}}{\mathrm{D} t} \]

注意到 \((\boldsymbol{u} \cdot \nabla)\) 是一个标量微分算符. 由于 这项的符号有时会搞乱, 我们给出两个简单的例子.

- 图 3-1 示出了一个电水加热器, 其中热水上升到顶部, 而 冷水下沉到底部. 令 $G(x, t)$ 代表温度 $T$, 则 $\nabla G$ 是朝上的. 考虑一个接近于水箱边缘的流体元, 如果接通加热器, 则当 流体元运动时, 它被加热, 就得到 $\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d} t}>0$. 另外, 如果一个搅 拌轮形成如图 3-1 所示的流动形式, 由于从底部来的冷水对流 而降低了固定流体元中的温度. 这时就得到 $\partial T / \partial x>0, u_{x}>0$, 因此 $u \cdot \nabla T>0$. 固定元中的温度变化由这些影响的平衡而 得到

\[\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d} t}-\boldsymbol{u} \cdot \nabla T \]

​ 很清楚, 至少对短时间而言, \(\partial T / \partial t\) 可能为零.

• 作为第二个例子, 我们可以取 \(\boldsymbol{G}\) 为接近河流人海口处水的盐分 \(S\) (图 3-2). 如果 \(x\) 指向上游方向,
  
  正常时 \(S\) 的梯度为 \(\frac{\partial S} { \partial x}<0\). 当潮流来到时, 盐和淡水之 间的整个交界面向上游运动, \(u_{x}>0\). 这样,

\[\frac{\partial S}{\partial t}=-u_{x} \frac{\partial S}{\partial x}>0\tag{3-34} \]

​ 说明在任何给定点盐分增加. 当然, 如果下雨, 盐分处处减少, 这时在方程 (3-34) 的中间部分要加上一个负的 \(\frac{\mathrm{d} S} {\mathrm{d} t}\).

\[\frac{\partial S}{\partial t}=\frac{d S}{d t}-u_{x} \frac{\partial S}{\partial x} \Rightarrow \frac{d S}{d t}=\frac{\partial S}{\partial t}+u_{x} \frac{\partial S}{\partial x} \]

上式有问题？

描述运流微商：1.欧拉方法 2.勒格朗日方法

就等离子体来说, 我们取 \(\boldsymbol{G}\) 代表流体速度 \(\boldsymbol{u}\), 并把方程 (3-30) 写成

\[m n\left[\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t}+(\boldsymbol{u} \cdot \nabla) \boldsymbol{u}\right]=q n(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{B}) \]

\(m n \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{u}}{\mathrm{d} t}=q n(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{B})\quad\text{(3-30)}\)

其中, \(\frac{\partial \boldsymbol{u}} {\partial t}\) 是固定坐标系中的时间导数.

考虑\(\rho = mn\)，

\[\rho\left[\frac{\partial \vec{u}}{\partial t}+(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}\right]=\frac{q}{m} \rho[\vec{E}+\vec{u} \times \vec{B}] \]

3.3.2 压力张量

当考虑热运动时, 方程 (3-35) 的右边必须加上一个压力. 这个力由流体元 内外粒子的无规则运动引起, 它在单粒子方程中并不出现. 令流体元 \(\Delta x \Delta y \Delta z\) 的 中心位于 \(\left(x_{0}, \frac{1}{2} \Delta y, \frac{1}{2} \Delta z\right)\) (图 3-3),

为简单起见, 我们只考虑通过 \(A\) 面和 \(B\) 面运动的 \(x\) 分量. 每秒以速度 \(v_{x}\) 通过面 \(A\) 的粒子数是

\[\Delta n_{v} v_{x} \Delta y \Delta z \]

\[\begin{align} &\Delta t时间内，A面左侧\Delta V体积内的粒子通过A面,粒子数\Delta n_v \Delta V\\ &每秒通过通过A面的粒子数=\frac {\Delta n_v \Delta V}{\Delta t}=\frac {\Delta n_v\Delta x \Delta y \Delta z}{\Delta t}=\Delta n_v v_x\Delta y \Delta z\\ &流体元中并不是所有粒子速度都相同，这里的\Delta V, v_x,\Delta n_v都是针对某一速度的粒子来说的。\\ &和这个比较像的是电流的微观表达式I=nqsv，推导方法类似于上面，不同点是认为导线中电子的移动速度都为v,\\ &则每秒通过横截面的电子数量为nsv。 \end{align} \]

其中, \(\Delta n_{v}\) 是每立方厘米中具有速度 \(v_{x}\) 的粒子数

\[\Delta n_{v}=\Delta v_{x} \iint f\left(v_{x}, v_{y}, v_{z}\right) \mathrm{d} v_{y} \mathrm{~d} v_{z} \]

\(f(v)\)是速度分v布函数。\(dn=f(v)dv\),此处把yz方向都积掉，得\(f(v_x)\)。【与热学书上不同，为什么】

\[这里的f(v)应该是f(v)=\frac{n}{\mathrm{d}v}，数密度函数\\ 而热学书上f(v)=\frac{n}{N\mathrm{d}v}，几率密度函数 \]

每个粒子携带动量 \(m v_{x}\). 假定每个立方体的密度 \(n\) 和温度 \(K T\), 具有相应于立方体 中心的值, 则在 \(x_{0}\) 点通过 \(A\) 面进人流体元的粒子所带入的动量 \(P_{A+}\) 为

\[P_{A+}=\sum \Delta n_{v} m v_{x}^{2} \Delta y \Delta z=\Delta y \Delta z\left[m \overline{v_{x}^{2}} \frac{1}{2} n\right]_{x_{0}-\Delta x} \]

对 \(\Delta n_{v}\) 求和, 得到对分布的平均 \(\overline{v_{x}^{2}}\). 出现因子 \(1 / 2\) 是由于在 \(x_{0}-\Delta x\) 立方体中只有 一半粒子向 \(A\) 面运动.

每秒以速度 \(v_{x}\) 通过面 \(A\) 的粒子数是\(\Delta n_{v} v_{x} \Delta y \Delta z\)

每秒通过A面总动量\(P_{总}=\sum P_i=\sum n_im_iv_i=\sum n_imv_i=m\sum (\Delta n_{v} v_{x} \Delta y \Delta z)v_x=\sum \Delta n_{v} m v_{x}^{2} \Delta y \Delta z\)

\(\bar{v^2_x}=\sum v_x^2 P_{vx}=\sum v_x^2 \frac {\Delta n_{vx}}{n}\qquad\Rightarrow\sum v_x^2 {\Delta n_{vx}}=n\bar{v^2_x}\)

\(P_{vx}=\frac {\Delta n_{vx}}{n}\)

上式未考虑速度方向，速度\(v_x\)可能向右也可能向左，数量各占一半，\(\Delta n_{vx右}=\frac 1 2 \Delta n_{vx}\)

所以\(P_{A+}=\sum \Delta n_{vx右} m v_{x}^{2} \Delta y \Delta z=\sum \frac 1 2 \Delta n_{vx} m v_{x}^{2} \Delta y \Delta z=\Delta y \Delta z\left[m \overline{v_{x}^{2}} \frac{1}{2} n\right]_{x_{0}-\Delta x}\)

同样, 通过 \(B\) 面带走的动量是

\[P_{B+}=\Delta y \Delta z\left[m \overline{v_{x}^{2}} \frac{1}{2} n\right]_{x_{0}} \]

因为达到热动平衡，AB面压强相等，也是\(\frac 1 2\)的由来。

这样, 向右运动的粒子引起 \(x\) 方向动量的净增加为

\[\begin{aligned} P_{A+}-P_{B+} &=\Delta y \Delta z \frac{1}{2} m\left(\left[n \overline{v_{x}^{2}}\right]_{x_{0}-\Delta x}-\left[n \overline{v_{x}^{2}}\right]_{x_{0}}\right) \\ &=\Delta y \Delta z \frac{1}{2} m(-\Delta x) \frac{\partial}{\partial x}\left(n \overline{v_{x}^{2}}\right) \end{aligned} \]

这里\(n\overline{v^2_x}\)是x的函数，\(f(x)=n\overline{v^2_x}\)

\(f(x_2)-f(x_1)=\frac {\partial f}{\partial x}(x_2-x_1)\)

\(\left[n \overline{v_{x}^{2}}\right]_{x_{0}-\Delta x}-\left[n \overline{v_{x}^{2}}\right]_{x_{0}}=(-\Delta x) \frac{\partial}{\partial x}\left(n \overline{v_{x}^{2}}\right)\)

由于向左边运动粒子的贡献, 这个结果将恰好增加一倍, 因为它们携带了负 \(x\) 方 向动量, 而且相对于 \(n \overline{v_{x}^{2}}\) 的梯度做反向运动.

\[\begin{aligned} p_{B-}-p_{A-} &=-\Delta y \Delta z \frac{1}{2} m\left(\left[n v_{x}^{2}\right]_{x_{0}+\Delta x}-\left[n v_{x}^{2}\right]_{x_{0}}\right) \\ &=-\Delta y \Delta z \frac{1}{2} m(\Delta x) \frac{\partial}{\partial x}\left(n v_{x}^{2}\right) \end{aligned} \]

因此, 在 \(x_{0}\) 点流体元的动量总变 化是

\[\vec P_{总}=\vec P_{右}+\vec P_{左}=[P_{A+}-P_{B+}]+[P_{B-}-P_{A-}]=\\ \Delta y \Delta z \frac{1}{2} m(-\Delta x) \frac{\partial}{\partial x}\left(n \overline{v_{x}^{2}}\right)-\Delta y \Delta z \frac{1}{2} m(\Delta x) \frac{\partial}{\partial x}\left(n v_{x}^{2}\right) \]

\[\frac{\partial}{\partial t}\left(n m u_{x}\right) \Delta x \Delta y \Delta z=-m \frac{\partial}{\partial x}\left(n \overline{v_{x}^{2}}\right) \Delta x \Delta y \Delta z\tag{3-38} \]

令粒子的速度 \(v_{x}\) 分成两部分

\[v_{x}=u_{x}+v_{x r}, \quad u_{x}=\overline{v_{x}} \]

粒子速度等于流体速度加上自己的热运动速度。

所以\(u_x=\overline {v_x}+v_{xr}\)

其中, \(u_{x}\) 是流体速度, 而 \(v_{x r}\) 是随机热速度. 对于一维麦克斯韦分布, 从方程 (1-7) 得到

\[\frac{1}{2} m \overline{v_{xr}^{2}}=\frac{1}{2} K T\tag{3-39} \]

现在方程 (3-38) 变成

\[\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}\left(n m u_{x}\right) &=-m \frac{\partial}{\partial x}\left[n\left(\overline{u_{x}^{2}}+2 \overline{u v_{x r}}+\overline{v_{x r}^{2}}\right)\right] \\ &=-m \frac{\partial}{\partial x}\left[n\left(\overline{u_{x}^{2}}+\frac{K T}{m}\right)\right] \end{aligned} \]

\(2 \overline{u v_{x r}}\)最好写成\(2 \overline{\vec u \vec v_{x r}}\)，因为本来就是矢量式，其中\(\overline{\vec v_{xr}}=0\)，因为热运动速度平均为零。第二项也就为零。

由偏微分, 我们能消去两项

\[m n \frac{\partial u_{x}}{\partial t}+m u_{x} \frac{\partial n}{\partial t}=-m u_{x} \frac{\partial\left(n u_{x}\right)}{\partial x}-m n u_{x} \frac{\partial u_{x}}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}(n K T) \]

这里\(nu_x^2=nu_x\cdot u_x\),

有个问题\(\overline {u_x^2}\)还能拆开吗

质量守恒方程

\[\frac{\partial n}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\left(n u_{x}\right)=0 \]

需要推导，但书上没有

允许我们消去方程 (3-40) 中最靠近等号的两项.

\[\begin{align} m n \frac{\partial u_{x}}{\partial t}&=-m n u_{x} \frac{\partial u_{x}}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}(n K T)\\ m n \frac{\partial u_{x}}{\partial t}+m n u_{x} \frac{\partial u_{x}}{\partial x}&=-\frac{\partial}{\partial x}(n K T) \end{align} \]

定义压力为

\[p \equiv n K T \]

最后, 我们就得到

\[m n\left(\frac{\partial u_{x}}{\partial t}+u_{x} \frac{\partial u_{x}}{\partial x}\right)=-\frac{\partial p}{\partial x} \]

这是通常的压力-梯度力. 加上电磁力, 并推广到三维, 我们得到流体方程为

\[m n\left[\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t}+(\boldsymbol{u} \cdot \nabla) \boldsymbol{u}\right]=q n(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{B})-\nabla p\tag{3-44} \]

我们已经推导出的公式仅是一个特殊情形： \(x\) 方向运动所传递 \(x\) 方向动量, 而且 我们已经假定流体是各向同性的, 所以在 \(y\) 方向和 \(z\) 方向有同样的结果. 但是, 如 \(x\) 方向的运动也可能传递 \(y\) 方向动量. 假定（图 3-3）在 \(x=x_{0}\) 立方体中 \(u_{y}\) 等于 零, 但在两边都是正的, 那么, 当粒子移过平面 \(A\) 和平面 \(B\) 时, 它们带进的正 \(y\) 方 向动量比带出的要多, 流体元就得到 \(y\) 方向的动量. 这种剪切应力(shear stress) 不能用标量 \(p\) 来表示, 而必须由压力张量 \(\boldsymbol{P}\)来给出, 它的分量 \(P_{i j}=m n \overline{v_{i} v_{j}}\) 规定 了运动方向及有关的动量分量. 在一般情况下, \(-\nabla p\) 用一 \(\nabla \cdot \boldsymbol{P}\) 来代替.
在这里, 我们将只给出两种最简单情况的压力张量. 当分布函数是一个各向 同性的麦克斯韦分布时, \(\boldsymbol{P}\) 写成

\[\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll} p & 0 & 0 \\ 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & p \end{array}\right) \]

\(\nabla \cdot \boldsymbol{P}\) 恰好是 \(\nabla p\).

在第 \(1.3\) 节中我们看到, 当磁场存在时, 等离子体能够具有两 个温度 \(T_{\perp}\) 和 \(T_{\parallel }\), 这时, 就会有两个压力 \(p_{\perp}=n k T_{\perp}, p_{\parallel }=n k T_{\parallel }\). 这样, 压力 张量为

\[\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{ccc} p_{\perp} & 0 & 0 \\ 0 & p_{\perp} & 0 \\ 0 & 0 & p_{\parallel } \end{array}\right) \]

它的第三行或第三列的坐标是 \(\boldsymbol{B}\) 的方向. 这个张量仍然是对角的, 并且在垂直于 \(B\) 平面显示出各向同性.
在普通流体中, \(P\) 的非对角元通常和黏滞性相联系. 当粒子碰撞时, 它们获 得了上次哑撞处流体速度 \(\boldsymbol{u}\) 方向的平均速度, 而这个动量在下一次碰撞中传递给 另一个流体元. 这样就使得不同点的 \(u\) 趋于相等, 而我们能直观地认为, 对剪切 流动所产生的阻力就是黏滞性. 平均自由程越长, 粒子携带更远处的动量, 黏滞 性就越大.

不理解🤔

在等离子体中, 甚至在无碰撞的情况下, 也能发生类似的效应. 粒子 (特别是离子) 的拉莫尔回转使它们进人等离子体的不同部分, 而使那里的流体 速度趋于相等. 是拉莫尔半径而不是平均自由程规定了这类无碰撞黏滞性的尺 度. 它是一种有限拉莫尔半径效应, 这种效应出现在碰撞黏滞性效应之外, 并且 与非均匀 \(E\) 场的漂移 \(v_{E}\) (方程 (2-58)) 紧密相关.

3.3.3 碰撞

如果存在一种中性气体, 荷电的流体将由于碰撞而与它交换动量. 每次碰撞 损失的动量将正比于相对速度 \(\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{0}\), 其中 \(\boldsymbol{u}_{0}\) 是中性流体的速度. 如果碰撞之间 的平均自由时间 \(\tau\) 近似为常数, 所产生的力能粗略地写成 \(-m n\left(\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{0}\right) / \tau\).

\(\tau\)也就是弛豫时间

运动方 程 (3-44) 能推广到包括各向异性压力和包括同中性粒子的碰撞, 写成

\[m n\left[\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t}+(\boldsymbol{u} \cdot \nabla) \boldsymbol{u}\right]=q n(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{B})-\nabla \cdot \boldsymbol{P}-\frac{m n\left(\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{0}\right)}{\tau}\tag{3-47} \]

\[m n\left[\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t}+(\boldsymbol{u} \cdot \nabla) \boldsymbol{u}\right]=q n(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{B})-\nabla p\tag{3-44} \]

这个公式没有包括带电粒子间的碰撞. 这种情况将在第 5 章论述.

3.3.4 和普通流体动力学的比较

普通的流体遵循纳维-斯托克斯 (Navier-Stokes) 方程

\[\rho\left[\frac{\partial u}{\partial t}+(u \cdot \nabla) u\right]=-\nabla p+\rho \nu^{2} u \]

这个方程和等离子体方程 (3-47) 是相同的, 只是没有电磁力【即没有\(q n(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{B})\)】和种类之间的碰撞 (只有一个类) . 黏滞项 \(\rho \nu \nabla^{2} \boldsymbol{u}\) (其中 \(\nu\) 是动力黏滞系数) 恰好是没有磁场时的碰 撞部分 \(\nabla \cdot \boldsymbol{P}-\nabla p\). 【这两不一回事吗，怎么还相减】方程 \((3-48)\) 描述了粒子间有频繁碰撞的一种流体. 然而, 方 程 (3-47) 的导出并没有对碰撞率作任何明确的说明. 由于除了 \(\boldsymbol{E}\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 外, 两个 方程是相同的, 那么方程 (3-47) 能否真实地描述一种等离子体呢? 得到的是谨慎的肯定回答, 其理由将告诉我们流体理论的局限性.
在方程 (3-47) 的推导中, 我们实际上已暗中假定了碰撞的存在. 当我们取速度分布是麦克斯韦分布时, 就在方程 (3-39) 【\(\frac{1}{2} m \overline{v_{xr}^{2}}=\frac{1}{2} K T\tag{3-39}\)】中引入了这个假定. 一般地说,出现这样一种分布是频繁碰撞的结果. 然而, 只是在取 \(v_{r}^{2}\) 的平均时, 才用了这个假定. 任何一种具有相同平均的分布都得到同样的结论, 所以流体理论对于与麦克斯韦分布的偏离不是很敏感. 尽管还存在一些例子, 在这些例子中, 这些偏离是重要的.那时就必须用动力学理论.
朗缪尔 (Irving Langmuir) 的经验观察支持了流体理论. 他用了以他的名字命名的静电探针, 发现电子分布函数比起碰撞率所能说明的分布更加接近麦克斯韦 分 布 。这个现象称作朗缪尔佯谬 (Langmuir's paradox), 曾归因于高频振荡.这个怪现象并没有得到令人满意的解决, 但是看来这是等离子体物理学中几自然行为偏祖我们的例子中的一个.
流体模型能用于等离子体的另一个原因是: 磁场 (当存在一磁场时) 在某种意义上起到了碰撞的作用. 比方说, 当粒子被 \(\boldsymbol{E}\) 场加速时, 如果允许粒子自由流动, 它会连续地增加速度. 当存在频繁的碰撞时, 粒子就达到一个与 \(\boldsymbol{E}\) 成正比的
极限速度. 例如, 铜线中的电子一起以速度 \(v=\mu \boldsymbol{E}\) 漂移, 其中 \(\mu\) 是迁移率. 磁场通过迫使粒子以拉莫尔轨道回转, 也能限制粒子自由流动. 等离子体中的电子也以正比于 \(\boldsymbol{E}\) 的速度一起漂移, 即 \(\boldsymbol{v}_{E}=\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{B} / B^{2}\). 在这个意义上, 一个无碰撞等离 子体的行为类似于一个有碰撞的流体. 当然, 沿着磁场方向粒子的确自由流动, 对这个方向的运动来说, 流体图像并不是特别合适的. 对于垂直于 \(B\) 的运动, 流 体理论是一种很好的近似.

3.3.5 连续性方程

物质守恒要求: 只有存在穿过表面 \(S\) (包围着体积 \(V\) ) 的粒子净通量时, 才 能改变体积 \(V\) 中粒子总数 \(N\). 由于粒子通量密度是 \(n\vec u\), 用斯托克斯定理, 我 们有

\[\frac{\partial N}{\partial t}=\int_{V} \frac{\partial n}{\partial t} \mathrm{~d} V=-\oint_{n} \boldsymbol{u} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=-\int_{V} \nabla \cdot(n \boldsymbol{u}) \mathrm{d} V \]

由于这个方程对任何体积 \(V\) 都必须成立, 所以被积函数必须相等

\[\frac{\partial n}{\partial t}+\nabla \cdot(n \boldsymbol{u})=0 \]

对每类粒子都存在这样一个连续性方程 (equation of continuity). 在式子的右 边, 可加上粒子的任何源或壑.

3.3.6 状态方程

封闭方程系还需要一个方程式. 为此, 我们能用联系 \(p\) 和 \(n\) 的热力学状态方程

\[p=C \rho^{\gamma}\tag{3-51} \]

\[pV^{\gamma}=C\Rightarrow p{(\frac {m_{总}} {\rho}})^{\gamma}=C\Rightarrow p={(\frac {\rho} {m_{总} }})^{\gamma}C\Rightarrow p=C\rho^{\gamma} \]

其中, \(C\) 是常数, \(\gamma\) 是比热比 \(C_{p} / C_{v}\). 所以, \(\nabla p\) 为

\[\frac{\nabla p}{p}=\gamma \frac{\nabla n}{n}\tag{3-52} \]

$\rho=\frac {m_总} V,总质量m_总，粒子数N，数密度n=\frac N V,单个粒子质量m，\rho=\frac {m_总} V=\frac {Nm}{V}=nm $

\(p=C\rho^{\gamma}\Rightarrow p=C(nm)^{\gamma}\Rightarrow p=Cn^{\gamma}\)

\(\nabla p=C\nabla n^{\gamma}=C\gamma n^{\gamma-1}\nabla n=C\gamma \frac {n^{\gamma}}{n}\nabla n=C\gamma n^{\gamma}\frac {\nabla n}{n}=C\gamma \frac p C \frac {\nabla n}{n}=\gamma p \frac {\nabla n}{n}\)

\(\Rightarrow \frac{\nabla p}{p}=\gamma \frac{\nabla n}{n}\)

• 对于等温压缩, 我们得到

\[\nabla p=\nabla(n K T)=K T \nabla n \]

所以很清楚地得到 \(\gamma=1\).

• 对于绝热压缩, \(K T\) 也将变化, 给出的 \(\gamma\) 值大于 1. 如果 \(N\) 是自由度的数目, \(\gamma\) 为

\[\gamma=(2+N) / N \]

见 维基百科“绝热指数”

状态方程的正确性要求忽略热流, 也就是说, 要有低的热传导率. 另外, 状态方 程在垂直于 \(\boldsymbol{B}\) 方向比起平行于 \(\boldsymbol{B}\) 方向显得更正确些. 幸好, 用方程 (3-51) 这个 粗糙的假定能充分描述大多数基本现象.

3.3.7 完整的流体方程组

为简单起见, 假定等离子体只有两种: 离子和电子, 推广到更多种是不难 的. 这时, 电荷和电流密度为

\[\begin{aligned} &\sigma=n_{i} q_{i}+n_{e} q_{e} \\ &j=n_{i} q_{i} v_{i}+n_{e} q_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{e}} \end{aligned} \]

由于现在不再考虑单粒子运动, 我们可以用 \(v\) 代替流体速度 \(u\), 将忽略碰撞和黏 滞性. 方程 (3-1) 方程 (3-4), 方程 (3-44), 方程 (3-50) 和方程 (3-51) 形成 下列一组方程

\[\begin{align} &\nabla \cdot \boldsymbol{E}=4 \pi\left(n_{i} q_{i}+n_{e} q_{e}\right) \tag{3-55}\\ &\nabla \times \boldsymbol{E}=-\dot{\boldsymbol{B}}\tag{3-56} \\ &\nabla \cdot \boldsymbol{B}=0\tag{3-57} \\ &c^{2} \nabla \times \boldsymbol{B}=4 \pi\left(n_{\mathrm{i}} q_{\mathrm{i}} \boldsymbol{v}_{\mathrm{i}}+n_{\mathrm{e}} q_{\mathrm{e}} \boldsymbol{v}_{\mathrm{e}}\right)+\dot{\boldsymbol{E}}\tag{3-58}\\ &m_{j} n_{j}\left[\frac{\partial \boldsymbol{v}_{j}}{\partial t}+\left(\boldsymbol{v}_{j} \cdot \nabla\right) \boldsymbol{v}_{j}\right]=q_{j} n_{j}\left(\boldsymbol{E}+v_{j} \times \boldsymbol{B}\right)-\nabla p_{j}, \quad j=\mathrm{i}, \mathrm{e}\tag{3-59} \\ &\frac{\partial_{j}}{\partial t}+\nabla\left(n_{j} \boldsymbol{v}_{j}\right)=0, \quad j=\mathrm{i}, \mathrm{e} \tag{3-60}\\ &p_{j}=C\left(m_{j} n_{j}\right)^{\gamma_{j}}, \quad j=\mathrm{i}, \mathrm{e}\tag{3-61} \end{align} \]

有 16 个末知标量: \(n_{i}, n_{\mathrm{e}}, p_{i}, p_{\mathrm{e}}, v_{i}, v_{\mathrm{e}}, \boldsymbol{E}\) 和 \(\boldsymbol{B}\). 如果将每个矢量方程考虑成 三个标量方程, 表面上看有 18 个标量方程. 然而, 麦克斯韦方程中的两个方程是 多余的, 因为方程 (3-55) 和方程 (3-57) 能由方程 (3-58) 和方程 (3-56) 的散 度 (习题 3-7) 重新获得. 这个方程组有 16 个末知数, 16 个方程, 它们的联立解 给出流体近似的一组自洽场和运动.

3. 4 垂直于 \(B\) 的流体漂移

由于一个流体元由很多个别的粒子所组成, 如果个别的导向中心具有垂直于 \(B\) 的漂移, 则我们会指望流体也有这个方向的漂移. 【第二章讲过】然而, 由于 \(\nabla p\) 项只出现在 流体方程中, 因此存在一项流体元有而粒子却没有的漂移, 它与 \(\nabla p\) 有关.【\(\nabla p\)与\(\nabla n\)有关，所以是n不同导致漂移】 对于 每个属种, 就有一个运动方程

\[m n\left[\frac{\partial v}{\partial t}+(v \cdot \nabla) v\right]=q n(\boldsymbol{E}+v \times \boldsymbol{B})-\nabla p\tag{3-62}\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad①\quad\quad\quad②\quad\quad\quad\quad\quad\quad③\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \]

考虑项(1)和项 (3) 的比

\[\frac ① ③ \approx\left|\frac{m n i \omega v_{\perp}}{q n v_{\perp} B}\right| \approx \frac{\omega}{\omega_{c}} \]

③中E不考虑

其中，\(\omega\)为等离子震荡频率，\(\omega_c\)为拉莫尔回转频率

等离子体震荡频率第四章有，提前用的

在这里, 我们已取 \(\partial / \partial t=\mathrm{i} \omega\), 而且仅与 \(v_{\perp}\) 相联系. 对于比 \(\omega_{\mathrm{c}}\) 时标要缓慢的漂移, 我们可以忽略项①. 我们也将忽略 \((v \cdot \nabla) v\) 项【先不说明】, 并且以后将证明是对的. 令 \(\boldsymbol{E}\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 是均匀的, 但 \(n\) 和 \(p\) 有一个梯度. 在磁约束等离子体柱中, 这是很普通的情 况 (图 3-4) .

用 \(\boldsymbol{B}\) 叉乘方程 (3-62), 得到 (忽略左边)

\[0=q n\left[\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{B}+\left(\boldsymbol{v}_{\perp} \times \boldsymbol{B}\right) \times \boldsymbol{B}\right]-\nabla p \times \boldsymbol{B} \]

\[=q n\left[\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}\left(\boldsymbol{v}_{\perp} \cdot \boldsymbol{B}\right)-v_{\perp} \boldsymbol{B}^{2}\right]-\nabla p \times \boldsymbol{B} \]

三重积\((a\times b)\times c=b(a\cdot c)-a(b\cdot c)\)

\(v_{\perp}\)是垂直于B的【待验证】，所以第二项为0

如果垂直，直接连续叉乘也不用考虑角度不是更快吗？

所以

\[v_{\perp}=\frac{\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{B}}{B^{2}}-\frac{\nabla p \times \boldsymbol{B}}{q n B^{2}} \equiv v_{E}+v_{D} \]

其中

\[\begin{array}{cc} v_{E} \equiv \frac{\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{B}}{B^{2}} & (\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{B} \text { 漂移 }) \\ v_{\mathrm{D}}=-\frac{\nabla p \times \boldsymbol{B}}{q n B^{2}} & (\text { 抗磁性漂移 }) \end{array} \]

漂移 \(v_{E}\) 与导向中心的漂移相同, 但现在存在一个新漂移 \(v_{\mathrm{D}}\), 称作抗磁性漂移 (diamagnetic drift) . 由于 \(v_{\mathrm{D}}\) 垂直于梯度方向【\(\nabla p\)，\(p\)是压强】【垂直见图】, 证明忽略 \((v \cdot \nabla) v\) 是正确的【不理解】.

用方程 (3-52), 【\(\frac{\nabla p}{p}=\gamma \frac{\nabla n}{n}\tag{3-52}\)】我们将抗磁性漂移写成

\[v_{\mathrm{D}}=\pm \frac{\gamma K T}{e B} \frac{\hat{z} \times \nabla n}{n} \]

\(v_D=-\frac{\nabla p \times \boldsymbol{B}}{q n B^{2}}=-\frac{\frac {p\gamma \nabla n}{n} \times \boldsymbol{B}}{q n B^{2}}=-\frac {p\gamma\nabla n\times \hat z}{qn^2B}=-\frac {nKT\gamma\nabla n\times \hat z}{qn^2B}=\pm \frac{\gamma K T}{e B} \frac{\hat{z} \times \nabla n}{n}\)

尤其对图 3-4 结构中的等温等离子体 \(\left(\nabla n=n^{\prime} \hat{\boldsymbol{r}}\right)\), 【\(\nabla n方向=\nabla p方向\)】我们得到下面的公式

\[\begin{aligned} &v_{\mathrm{D} \mathrm{d}}=\frac{K T_{i} n^{\prime}}{e B} \hat{\boldsymbol{\theta}} \\ &v_{\mathrm{De}}=-\frac{K T_{\mathrm{e}} n^{\prime}}{e B}\hat{\boldsymbol{\theta}} \end{aligned} \]

这个公式对于在 \(\mathrm{Q}\) 装置 上工作的实验家来说是很熟悉的. 从方程 (3-68) 很容 易计算 \(v_{\mathrm{D}}\) 的大小

\[v_{\mathrm{D}}=10^{8} \frac{K T(\mathrm{eV})}{B(\mathrm{G})} \frac{1}{\Lambda}\tag{3-68} \]

其中, \(\Lambda\) 是密度标度长 \(n / n^{\prime}\) (以厘米为单位).

从图 3-5 可以看到这种漂移的物理原因. 在这里, 我们画出在磁场中离子回转 的轨道. 存在一个向左边的密度梯度, 在图中由轨道的密度来表示. 通过任何固定 体积元的向下运动离子比向上运动离子要多, 这是由于向下运动的离子来自于密度 较高的区域. 因此, 即使导向中心是固定的, 也存在一个垂直于 \(\nabla n\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 的流体 漂移. 抗磁性漂移的方向随着 \(q\) 的符号而改变, 因为 \(q\) 的符号不同, 回转的方向 也不同. \(v_{\mathrm{D}}\) 的大小不依赖于质量, 因为速度的 \(m^{-1 / 2}\) 依赖与拉莫尔半径的 \(m^{1 / 2}\) 依 赖相互抵消【不理解】一一如果质量小, 则在一次回转期间, 抽样的密度梯度也较小.

由于离子和电子以相反方向漂移, 就存在一种抗磁性电流. 对于 \(\gamma=Z=1\), 抗磁性电流由下式得到

\[\begin{aligned} j_{\mathrm{D}} &=n e\left(v_{D \mathrm{i}}-v_{D \mathrm{e}}\right) \\ &=\left(K T_{\mathrm{i}}+K T_{\mathrm{e}}\right) \frac{\boldsymbol{B} \times \nabla n}{B^{2}} \end{aligned} \]

在粒子图像中, 如果导向中心不漂移, 我们不会期 望测量出电流. 而在流体图像中, 只要存在压力梯 度, 就有电流 \(j_{\mathrm{D}}\) 流过. 倘若我们考虑所有实验必须 在有限大小的等离子体中进行, 就能调和这两种观 点. 假定等离子体处于刚性盒中 (图 3-6), 如果我 们从单粒子图像来计算电流, 应当考虑在边缘具有 摆线路径的粒子. 由于左边的粒子比右边的粒子多, 存在一个向下的净电流, 这是和流体图像一致的. 从这个例子我们能够看到, 用单粒子图像会相当复杂, 而直接用流体理论, 即使包 含了类似于抗磁性漂移的 “虚构” 漂移, 通常也能给出正确的结果.
梯度 \(B\) 和曲率漂移怎样出现在单粒子图像中呢? 由于如下原因, 在流体图像 中不能发生这些漂移. 按照热力学, 我们能够证明磁场并不影响麦克斯韦分布. 这是因为洛伦兹力垂直于 \(v\), 而且不改变任何粒子的能量. 没有 \(B\) 场的最可几分 布 \(f(v)\) 也是有 \(\boldsymbol{B}\) 场的最可几分布. 如果在非均匀 \(\boldsymbol{B}\) 场中的 \(f(v)\) 保持麦克斯韦 分布, 并且不存在密度梯度, 那么带人到任何固定流体元的净动量是零. 即使各 个粒子的导向中心有漂移, 流体的漂移也不存在; 在任何固定的流体元中, 粒子 的漂移相互抵消. 如果存在非均匀 \(\boldsymbol{E}\) 场, 就不会有这种情况. 那时, \(2.4\) 节所讲 的有限拉莫尔半径效应既引起导向中心漂移, 又引起流体漂移, 但是两者是不相 同的; 事实上, 它们有相反的符号. 在第 2 章中, 计算了粒子漂移, 从 \(\boldsymbol{P}\) 的非对 角元能计算流体漂移. 当考虑有限拉莫尔半径效应时, 要使流体图像和粒子图像 一致是十分困难的. 类似图 3-6 那种简单图像是不行的, 因为我们必须考虑诸如 下面所述的那种难解之点: 密度梯度存在时, 导向中心的密度和粒子密度是 不同的.

\(3.5\) 平行于 \(B\) 的流体漂移

流体运动方程的 \(z\) 分量是

\[m n\left[\frac{\partial v_{z}}{\partial t}+(v \cdot \nabla) v_{z}\right]=q n E_{z}-\frac{\partial p}{\partial z} \]

常忽略对流项【\((v \cdot \nabla) v_{z}\)❓】, 因为它远小于 \(\partial v_{z} / \partial t\) 项. 这里我们将避免复杂的论证, 并简单地 把 \(v_{z}\) 考虑成空间均匀的情况. 由方程 (3-52) 得到

\[\frac{\partial v_{z}}{\partial t}=\frac{q}{m} E_{z}-\frac{\gamma K T}{m n} \frac{\partial n}{\partial z}\tag{3-71} \]

\(\frac{\nabla p}{p}=\gamma \frac{\nabla n}{n}\tag{3-52}\Rightarrow\frac{\partial p}{\partial z}=\frac {p\gamma }{n}\frac{\partial n}{\partial z}\)

\(m n\left[\frac{\partial v_{z}}{\partial t}+(v \cdot \nabla) v_{z}\right]=q n E_{z}-\frac{\partial p}{\partial z}\)

\(\frac{\partial v_{z}}{\partial t}=\frac q m E_{z}-\frac 1 {mn}\frac{\partial p}{\partial z}=\frac q m E_{z}-\frac 1 {mn}\frac {p\gamma }{n}\frac{\partial n}{\partial z}=\frac q m E_{z}-\frac 1 {mn}\frac {nKT\gamma }{n}\frac{\partial n}{\partial z}=\frac{q}{m} E_{z}-\frac{\gamma K T}{m n} \frac{\partial n}{\partial z}\)

这就说明, 在静电力和压力梯度力的联合作用下, 流体沿着 \(B\) 加速. 将方程(3-71) 用到无质量电子, 能得到一个特别重要的结果. 取极限 \(m \rightarrow 0\), 并使 \(q=-e\), \(E=-\nabla \phi\), 得到

\[q E_{z}=e \frac{\partial \phi}{\partial z}=\frac{\gamma K T_{\mathrm{e}}}{n} \frac{\partial n}{\partial z}\tag{3-72} \]

\[m\frac{\partial v_{z}}{\partial t}=qE_{z}-\frac{\gamma K T}{ n} \frac{\partial n}{\partial z} \\\downarrow m \rightarrow0\\ 0=qE_{z}-\frac{\gamma K T}{ n} \frac{\partial n}{\partial z}\\ q E_{z}=\frac{\gamma K T_{e}}{n} \frac{\partial n}{\partial z}\\ e \frac{\partial \phi}{\partial z}=\frac{\gamma K T_{\mathrm{e}}}{n} \frac{\partial n}{\partial z} \]

电子是那么容易迁移, 以至于它们的热传导率儿乎是无穷大. 我们就可以假定电 子是等温的, 并且 \(\gamma=1\). 对方程 (3-72) 积分, 得到

\[e \phi=K T_{\mathrm{e}} \ln n+C \]

或者

\[n=n_{0} \exp \left(e \phi / K T_{\mathrm{e}}\right)\tag{3-73} \]

这恰好是电子的玻尔兹曼关系式.
这个式子的物理意义是: 轻的电子很活跃, 如果有一个净力作用在电子上, 则它们很快被加速到高能量. 自从电子没有留下一个大的粒子电荷而不能一起离开一个区域以来, 作用在电子上的静电力和压 力梯度力必须接近于平衡. 这个条件导致玻尔 兹曼关系. 注意方程 (3-73) 能用于每条磁力 线. 而且除非有这样一种机制使电子能穿过 \(\boldsymbol{B}\) 运动, 不同的磁力线才可以充电到任意不同的 势. 导体（磁力线在导体上终止）就能提供这 样一种机制, 实验人员必须仔细地考虑这些终 端效应.

图 3-7 形象地说明了当等离子体存在一个 局部密度块区时, 会发生什么现象. 令密度梯度向着图的中心方向, 并假定 \(K T\) 是常数, 这时有一个向着中心方向的压力梯 度. 由于等离子体是准中性的, 对电子和离子流体都存在梯度. 考虑作用在电子 流体上的压力梯度力 \(F_{p}\). 这个力驱动活动的电子离开中心, 而把离子留在后面. 引起的正电荷就产生一个场 \(\boldsymbol{E}\), 它作用在电子上的力 \(\boldsymbol{F}_{E}\) 与 \(\boldsymbol{F}_{p}\) 方向相反, 仅当 \(\boldsymbol{F}_{E}\) 和 \(\boldsymbol{F}_{p}\) 大小相等、方向相反时, 才达到稳定态. 如果 \(\boldsymbol{B}\) 是常数, \(\boldsymbol{E}\) 是一个静电场, \(\boldsymbol{E}=-\nabla \phi, \phi\) 必须在中心大, 那里 \(n\) 大. 这恰好是方程 (3-73) 告诉我们的内容. 与严格中性的偏离会自身调节, 使得恰好存在足够的电荷, 以建立与作用在电子 上的力相平衡的 \(\boldsymbol{E}\) 场.

麦克斯韦分布是关于动能的分布，例子：空气（近独立粒子）

玻尔兹曼分布是关于势能的分布，例子：喜马拉雅山大气（高处稀薄，是在重力势能的作用下的分布）

\(3.6\) 等离子体近似

上述的例子揭示了等离子体的一个重要特性, 这个特性有着广泛的应用. 当 给定电荷密度 \(\sigma\) 时, 我们从泊松方程来解 \(\boldsymbol{E}\). 在等离子体中, 一般用相反的程序. \(\boldsymbol{E}\) 从运动方程求出, 而泊松方程只用来求出 \(\sigma\). 其原因是等离子体有一个强烈的保 持中性的倾向. 如果离子运动, 电子将跟着它运动. \(E\) 必须通过它自身的调节, 使得电子和离子轨道保持中性. 电荷密度具有第二位的重要性, 它将通过自身的 调节来满足泊松方程. 当然, 仅对低频运动, 这才是正确的, 那时电子的惯性不 是一个重要的因素.
在等离子体中, 经常能同时假定 \(n_{\mathrm{i}}=n_{\mathrm{e}}\) 和 \(\nabla \cdot \boldsymbol{E} \neq 0\). 我们将把这个假定称为 等离子体近似 (plasma approximation). 它是等离子体的一个基本特性, 对初学 者来说, 理解这个特性是困难的. 除了不得已的情况外, 不要用泊松方程来求 \(E\). 这样, 在流体方程组 (3-55) 方程(3-61) 中, 可以去掉泊松方程, 并用 \(n_{\mathrm{i}}=n_{\mathrm{e}}=n\) 消去一个末知数 . 当我们探讨离子波理论时, 将回到等离子体近似正确性的问题 上来. 在那时, 我们将清楚地了解, 为什么在推导德拜屏蔽时必须用泊松方程.