【笔记】第一章 等离子体的定义

引言

• 等离子体广泛存在于宇宙中
• 在地球外部，恒星的内部及大气层、气态星云和大量的星际氢都处于等离子体状态，因此，说宇宙中物质的99 ％以等离子体状态存在——也就是以带电气体的形式存在，一点都不夸张。因为由于高温它们的原子离解成正离子和负电子。
• 在地球内部，也可以看到许多等离子体现象，如闪电、北极光、火箭尾焰、日光灯等，只是由于它们或被封闭在容器中、或存在的时间短暂，才不会对人类产生大的影响。但有时还是给人类带来危害，如闪击、被尾焰灼伤等。感谢地球！

1. 1 等离子体在自然界的存在

人们经常说, 宇宙中物质的 \(99 \%\) 以等离子体状态存在, 也就是以带电气体的 形式存在, 它们的原子离解成正离子和负电子. 这种估计也许不是很精确, 但鉴 于恒星的内部及大气层、气态星云和大量的星际氢都是等离子体, 这种估计无疑 是合理的. 在我们周围, 只要一离开地球的大气, 就遇到了构成范艾伦辐射带 (Van Allen radiation belts) 和太阳风 (solar wind) 的等离子体. 然而, 我们日 常生活中所遇到的等离子体却只限于几个实例: 内电、北极光 (aurora borealis) 的柔和辉光、荧光管或䨘虹灯内的导电气体、火箭尾气内的少量电离. 我们生活 在宇宙的 \(1 \%\) 之中, 在我们这里, 等离子体并不天然地存在.
从萨哈方程 (Saha equation) 可以看到上述论点的理由, 萨哈方程告诉我们, 处于热平衡的气体的电离量是

\[\frac{n_{\mathrm{i}}}{n_{\mathrm{n}}} \approx 2.4 \times 10^{15} \frac{\mathrm{T}^{3 / 2}}{n_{\mathrm{i}}} \mathrm{e}^{-U_{\mathrm{i}} / \mathrm{KT}} \]

这里, \(n_{\mathrm{i}}\) 和 \(n_{\mathrm{n}}\) 分别是已电离原子和中性原子的密度 (每立方厘米的粒子数), \(T\) 是气体温度 \((\mathrm{K}), K\) 是玻尔兹曼常量, \(U_{\mathrm{i}}\) 是气体的电离能——使最外层电子离 开原子所需的尔格数 (本书用 cgs-esu 单位) . 对于室温下的普通空气, 我们可以 取 \(n_{n} \approx 3 \times 10^{19} \mathrm{~cm}^{-3}\) (习题 1-1), \(T \approx 300 \mathrm{~K}, U_{\mathrm{i}} \approx 14.5 \mathrm{eV}\) (对氮气), 其中 \(1 \mathrm{eV}=\) \(1.6 \times 10^{-12} \mathrm{erg}\). (\(\text { 1erg }=1 \times 10^{-7} \mathrm{~J}\))

从方程 (1-1) 预期的电离分数 \(n_{\mathrm{i}} /\left(n_{\mathrm{n}}+n_{\mathrm{i}}\right) \approx n_{\mathrm{i}} / n_{\mathrm{n}}\) 是微乎其 微的

\[\frac{n_{\mathrm{i}}}{n_{\mathrm{n}}} \approx 10^{-122} \]

当气体温度升高时, 在 \(K T\) 达到 \(U_{i}\) 的几分之一以前, 它一直保持低电离度. 温度再升高, \(n_{i} / n_{\mathrm{n}}\) 急剧增加, 气体就处于等离子态. 温度的进一步增加, 使得 \(n_{\mathrm{n}}\) 低于 \(n_{\mathrm{i}}\), 等离子体最终变成完全电离的. 这就是在温度达百万度的天体中存在 等离子体, 而地球上不存在等离子体的理由. 生物很难与等离子体共存一一至少 不能与我们谈到的那类等离子体共存. 在高温下等离子体的自然存在是 “物质第四态” 名称的来由.
虽然我们并不想强调萨哈方程, 然而应当指出它的物理意义. 气体中原子的 热能具有一个分布, 当原子偶尔受到一次高能 (足够打出一个电子) 碰撞时, 原 子就被电离. 在冷气体中, 由于一个原子必须通过一系列 “有利的碰撞” 才被加 速到远高于平均值的能量, 因此这种高能碰撞很少发生. 方程 (1-1) 中的指数因 子表示快速原子数随 \(U_{\mathrm{i}} / K T\) 指数下降. 一旦一个原子被电离, 它就保持带电直 到遇到一个电子时为止; 那时, 它极可能与一个电子复合而再次变成中性原子. 复合率显然依赖于电子密度, 我们认为电子密度与 \(n_{\mathrm{i}}\) 相等, 所以平衡离子密度应 当随 \(n_{\mathrm{i}}\) 减少, 这就是方程 (1-1) 右边出现因子 \(n_{\mathrm{i}}^{-1}\) 的原因. 恒星际媒质中存在等 离子体是由于 \(n_i\)值低( 约每 \(\mathrm{cm}^{3}\) 一个), 因而复合率低.

等离子体的定义

当然, 不是任何电离的气体都能称作等离子体; 在任何气体中总会存在某些 小电离度. 下面是一个有用的定义:
等离子体是带电粒子和中性粒子组成的表现出集体行为的一种准中性气体.
现在, 我们必须确定 “准中性” (quasineutral) 和 “集体行为” (collective behavior）的意义. 准中性的意义将在第 \(1.4\) 节清楚地䦶述. “集体行为” 所包含 的意义如下:
考虑作用在一个分子 (如普通空气的一个分子) 上的力. 由于分子是中性的, 在分子上不存在净电磁力, 而重力是可以忽略的. 在这个分子与另一个分子碰撞 前, 它不受扰动地运动, 这些碰撞支配了粒子的运动. 作用在中性气体上的宏观 力 (像扬声器产生的声波) 通过碰撞传给单个原子. 在有带电粒子的等离子体 中, 情况则完全不同. 当这些电荷到处运动时, 它们能引起正电荷或负电荷的局 部集中, 就产生了电场. 电荷的运动也引起电流, 因而产生磁场. 这些场影响了 远处其他带电粒子的运动.
我们考虑等离子体中相距为 \(r\) 的两个稍许带电区域的相互影响 (图 1-1). A 和 \(\mathrm{B}\) 之间的库仑力随 \(1 / r^{2}\) 减小而减小. 然而, 对给定的立体角 (即 \(\Delta r / r=\) 常 数), B 中能影响 A 的等离子体体积随 \(r^{3}\) 增加而增加. 所以, 即使相距很远的等 离子体元也存在相互作用力. 正是这个长程库仑力给出了等离子体种类繁多的可 能运动, 并且丰富了称作等离子体物理学的研究领域. 事实上, 最有意义的结果 是关于所谓 “无碰撞” 等离子体, 在那里长程电磁力与普通局部碰撞引起的力相 比是如此之大, 以至于可以完全忽略后者. “集体行为” 这个词指的是不仅取决 于局部条件而且取决于远距离区域等离子体状态的运动.

“等离子体” 这个词看来是一个误称, 这个词来自希腊文 \(\pi \lambda \dot{\alpha} \sigma \mu \alpha,-\alpha \tau 0 \xi, \tau \dot{\delta}\), 它多少带有塑造或制造的含义. 由于集体行为, 等离子体并不趋于顺从外界影}

1.2 等离子体的定义

什么是等离子体？

• 定义：等离子体是由带电粒子和中性粒子组成的、表现出集体行为的、一种准中性的气体。
  我们来研究一下等离子体的三个定语：
  • 带电粒子和中性粒子组成的（容易理解）
  • 表现出集体行为的
  • 准中性的
    我们重点讨论“集体行为”和“准中性”问题。

何谓集体行为？

考虑作用在一个空气分子上的力
由于分子是中性的，在分子上不存在净电磁力；
又由于分子的质量为10^-27kg量级，重力可以忽略；
因此，在这个分子与另一个分子碰撞前，它将不受扰动地运动，碰撞支配了粒子的运动。
即分子之间不接触就没有相互作用。例如：作用在中性气体上的宏观力（像声波传递）通过碰撞传给单个原子。

当空气中有带电粒子的等离子体时，情况就不同了：
当这些电荷运动时，它们能引起正电荷或负电荷的局部集中，就会产生电场（库伦力）；
而电荷的运动也会引起电流，因而产生磁场（洛伦兹力）；
而这些场的存在就会使得粒子之间的运动不仅影响相互碰撞的粒子，还会影响远处其他未碰撞带电粒子的运动。

正是这个长程库仑力给出了等离子体种类繁多的可能运动，也使得等离子体物理学的描述变得复杂和多样。
由于场的存在，引入了“无碰撞”等离子体。所谓“无碰撞”等离子体，是指长程电磁力远大于普通局部碰撞引起的力，以致于可以完全忽略后者。
总结以上分析可知：
“集体行为”这个词指的是不仅取决于局部条件而且也取决于远距离区域等离子体状态的运动。
由于集体行为，等离子体并不趋于顺从外界的影响。而常表现出好象有自己的癖性。

1.3 温度的概念

重新理解温度的意义：
小时候：冷热程度的标志。
热力学：与粒子的平均能量有关；达到热动平衡的标志（满足麦克斯韦分布），各方向温度相同。
等离子体：既然与粒子的平均能量有关，各方向温度不一定相同。由于电磁场的存在，使得不同方向有不同的温度。

在进一步讨论问题以前, 应评论和扩充我们对 “温度” 的物理概念. 处于热 平衡的气体, 其粒子有一切速度, 这些速度的最可几分布称作麦克斯韦分布. 为 简单起见, 我们考虑一种气体, 它的粒子只能在一维上运动（这不是完全无价值 的, 例如, 强磁场可约束电子, 使之只能沿着场力线运动）. 一维的麦克斯韦分 布由方程 (1-2) 给出

\[f(u)=A \exp \left(-\frac{1}{2} m u^{2} / K T\right)\tag{1-2} \]

其中, \(f\) 是速度在 \(u \sim u+\mathrm{d} u\) 范围内每立方厘米的粒子数, \(\frac{1}{2} m u^{2}\) 是动能, \(K\) 是 玻尔兹曼常量

\[K=1.38 \times 10^{-16} \mathrm{erg} / \mathrm{K} \]

密度 \(n\) 或每立方厘米的粒子数由方程 (1-3) 给出（图 1-2）

\[n=\int_{-\infty}^{\infty} f(u) \mathrm{d} u\tag{1-3} \]

常数 \(A\) 与密度 \(n\) 的关系是 (习题 1-2)

\[A=n\left(\frac{m}{2 \pi K T}\right)^{1 / 2}\tag{1-4} \]

分布的宽度由常数 \(T\) 来表征, 我们称 \(T\) 为温度. 为了了解 \(T\) 的确切意义, 我们可以计算这个分布中粒子的平均动能

\[E_{\mathrm{av}}=\frac{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} m u^{2} f(u) \mathrm{d} u}{\int_{-\infty}^{\infty} f(u) \mathrm{d} u}\tag{1-5} \]

定义

\[v_{\text {th }}=\sqrt{\frac {2 \mathrm{KT} }{ \mathrm{m}}}\text { 和 } y=\frac u {v_{\text {th }}}\tag{1-6} \]

我们能将方程 (1-2) 写成

\[f(u)=A \exp \left(-u^{2} / v_{\mathrm{th}}^{2}\right) \]

将方程 (1-5) 写成

\[E_{\mathrm{av}}=\frac{\frac{1}{2} m A v_{\mathrm{th}}^{3} \int_{-\infty}^{\infty}e^{ \left(-y^{2}\right)} y^{2} \mathrm{~d} y}{A v_{\mathrm{th}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ \left(-y^{2}\right)}\mathrm{d} y} \]

可用分部积分法求出分子中的积分

\[\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} y \cdot\left[\exp \left(-y^{2}\right)\right] y \mathrm{~d} y &=\left\{-\frac{1}{2}\left[\exp \left(-y^{2}\right)\right] y\right\}_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}-\frac{1}{2} \exp \left(-y^{2}\right) \mathrm{d} y \\ &=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-y^{2}\right) \mathrm{d} y \end{aligned} \]

约去积分后, 得到

\[E_{\mathrm{av}}=\frac{\frac{1}{2} m A v_{\mathrm{th}}^{3} \frac{1}{2}}{A v_{\mathrm{th}}}=\frac{1}{4} m v_{\mathrm{th}}^{2}=\frac{1}{2} K T\tag{1-7} \]

于是, 平均动能是 \(\frac{1}{2} K T\).
我们很容易将这个结果推广到三维, 得到麦克斯韦分布是

\[f(u, v, w)=A_{3} \exp \left[-\frac{1}{2} m\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right) / K T\right]\tag{1-8} \]

其中

\[A_{3}=n\left(\frac{m}{2 \pi K T}\right)^{3 / 2} \]

平均动能是

\[E_{\mathrm{av}}=\frac{\iiint_{-\infty}^{\infty} A_{3} \frac{1}{2} m\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right) \exp \left[-\frac{1}{2} m\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right) / K T\right] \mathrm{d} u \mathrm{~d} v \mathrm{~d} w}{\iiint_{-\infty}^{\infty} A_{3} \exp \left[-\frac{1}{2} m\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right) / K T\right] \mathrm{d} u \mathrm{~d} v \mathrm{~d} w} \]

注意到, 由于麦克斯韦分布是各向同性的, 这个表达式对 \(u, v, w\) 都是对称的. 因此分子中三项的每一项与其他项是相同的. 这样一来, 我们只需要计算第一项 并乘以 3 , 得到

\[E_{\mathrm{av}}=\frac{3 A_{3} \int \frac{1}{2} m u^{2} \exp \left(-\frac{\frac{1}{2} m u^{2}}{K T}\right) \mathrm{d} u \iint \exp \left[-\frac{1}{2} m\left(v^{2}+w^{2}\right) / K T\right] \mathrm{d} v \mathrm{~d} w}{A_{3} \int \exp \left(-\frac{\frac{1}{2} m u^{2}}{K T}\right) \mathrm{d} u \iint \exp \left[-\frac{1}{2} m\left(v^{2}+w^{2}\right) / K T\right] \mathrm{d} v \mathrm{~d} w} \]

采用我们前面的结果, 就得到

\[E_{\mathrm{av}}=\frac{3}{2} K T \]

普遍的结果是: 每个自由度的平均能量等于 \(\frac{1}{2} K T\).

可见等离子体非常接近理想气体

既然 \(T\) 和 \(E_{\mathrm{av}}\) 是如此紧密相关, 所以在等离子体物理学中, 温度通常用能量单位来表示. 为了避免在所包含维数上发生混淆, 所以不用 \(E_{\mathrm{av}}\) 而用对应于 \(K T\) 的能量来表示温度. 对于 \(K T=1 \mathrm{eV}=1.6 \times 10^{-12} \mathrm{erg}\)

\[T=\frac{1.6 \times 10^{-12}}{1.38 \times 10^{-16}}=11600\tag{1-10} \]

于是转换因子是

\[1 \mathrm{eV}=11600 \mathrm{~K}\tag{1-11} \]

一个 \(2 \mathrm{eV}\) 的等离子体指的是它的 \(K T=2 \mathrm{eV}\), 或者说在三维 (空间) 中它的 \(E_{\mathrm{av}}=3 \mathrm{eV}\).
等离子体可以同时具有几个温度是颇有意义的. 离子和电子经常具有不同温 度 \(T_{\mathrm{i}}\) 和 \(T_{\mathrm{e}}\) 的独立麦克斯韦分布. 这是因为离子之间或电子之间的碰撞率大于离 子和电子之间的碰撞率. 这样, 每一种粒子能处于自身的热平衡中, 而等离子体 也许不能持续足够长时间使两个温度相等. 当存在磁场 \(\boldsymbol{B}\) 时, 连单一种类粒子 (如离子) 都可能有两个温度. 这是因为沿着 \(\boldsymbol{B}\) 作用在一个离子上的力与垂直 \(\boldsymbol{B}\) 作用在一个离子上的力是不同的（由于洛伦兹力）. 这样, 垂直于 \(\boldsymbol{B}\) 和平行于 \(\boldsymbol{B}\) 的速度分量可能属于具有温度 \(T_{\perp}\) 和 \(T_{\|}\)的不同麦克斯韦分布.
在结束对温度概念的评论之前, 我们应当消除流行的错误概念, 即高温度必 须意味着大量的热. 人们在听到荧光灯管内电子温度大约是 \(20000 \mathrm{~K}\) 时, 通常感 到惊讶: “啊! 并不感到那么热呀!” 当然, 也必须考虑到热容量. 在荧光灯管内 的电子密度远低于大气压下的气体密度, 电子以它们的热速度打击壁而传递到壁的 总热量, 并不是那么大的. 每个人都有这样的经验, 知道香烟灰落在手上是不伤手 的. 虽然其温度高到足够引起燃烧, 但包含的总热量是不大的. 很多实验室的等离 子体具有 \(1000000 \mathrm{~K}(100 \mathrm{eV})\) 量级的温度, 但密度只有 \(10^{12} \sim 10^{13} \mathrm{~cm}^{-3}\), 因此壁的 变热并不是一个需要严重考虑的问题.

1.4 德拜屏蔽

等离子体的第三个定语是准中性
何谓准中性？
等离子体行为的一个基木特性是：它具有屏蔽掉作用于它上面的电势的能力。
为什么会有这种屏蔽能力哪？
别忘了等离子体是由带电粒子和中性粒子组成的（第一个定语）。而带电粒子具有电性，粒子具有运动性。

• 下面我们给定一种具有普适性的情况：在等离子体内插入两个和电池相连的带电球，以试图在等离子体内部引进一个电场（见1-3）。
  
  球会吸引相反电荷的粒子，几乎立刻就在负电球周围形成离子云，在正电球周围形成电子云。
  我们假定：介电层阻止了等离子体在电极表面上的复合；或者尽管存在着复合，但电池容量足够大，能够保持这个电势。
  • 先进行定性分析：
    倘若等离子体是冷的，不存在热运动，则云中的电荷刚好与球上的电荷一样多；屏蔽就是完全的，在云外面的等离子体内部就会不存在电场。
    如果等离子体有一定的温度，处在云边缘(此处的电场弱)的那些粒子就有足够的热能逃逸出静电势场。而屏蔽是不完全的。
    此时，云“边缘”出现在势能近似等于粒子热能kT的半径上，而屏蔽是不完全的。
    kT/e量级的电势能够漏入等离子体中并引起有限的电场。
  • 下面我们计算这种电荷云的近似厚度. 设想用一个完全透明的栅极, 使 \(x=0\) 平面的电势 \(\phi\) 保持在 \(\phi_{0}\) 值 (图 1-4) . 我们希望计算 \(\phi(x)\). 为简单起见, 我们假 定离子-电子质量比 \(M / m\) 是无限大, 所以离子不运动, 而形成一个均匀正电荷本 底. 更确切地说, \(M / m\) 足够大, 使得在实验的时间尺度上, 离子的惯性阻止了它 们有效地运动. 一维泊松方程为

\(\nabla^{2} \varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon}\)
采用自然单位制

\[\nabla^{2} \varphi=-4 \pi\left(\rho_{e}\right) \]

\[\nabla^{2} \phi=\frac{\mathrm{d}^{2} \phi}{\mathrm{d} x^{2}}=-4 \pi e\left(n_{\mathrm{i}}-Zn_{\mathrm{e}}\right) \quad(Z=1)\tag{1-12} \]

其中，ni为离子数密度，ne为电子数密度，Z为电离度，此处取电离一个电子

如果远处的密度是 \(n_{\infty}\), 得到

\[n_{\mathrm{i}}=n_{\infty} \]

远处\(\nabla^{2} \phi=0,n_i=n_{\infty}\)

在势能 \(q \phi\) 存在时, 电子分布函数为

\[f(u)=A \exp \left[-\left(\frac{1}{2} m u^{2}+q \phi\right) / K T_{\mathrm{e}}\right] \]

一维麦克斯韦分布？
处于热 平衡的气体, 其粒子有一切速度, 这些速度的最可几分布称作麦克斯韦分布. 为 简单起见, 我们考虑一种气体, 它的粒子只能在一维上运动（这不是完全无价值 的, 例如, 强磁场可约束电子, 使之只能沿着场力线运动）
密度 \(n\) 或每立方厘米的粒子数 \(n=\int_{-\infty}^{\infty} f(u) \mathrm{d} u\)
\(A=n\left(\frac{m}{2 \pi K T}\right)^{1 / 2}\)

在这里, 没有必要证明这个式子. 此方程所说明的内容是很显然的: 在势能大的 位置, 粒子数较少, 因为不是所有粒子具有足够到达那里的能量. 对 \(u\) 积分 \(f(u)\), 令 \(q=-e\), 并注意到 \(n_{\mathrm{e}}(\phi \rightarrow 0)=n_{\infty}\), 求出

\[n_{\mathrm{e}}=n_{\infty} \exp \left(e \phi / K T_{\mathrm{e}}\right) \]

这是电子的玻尔兹曼关系。

\[\begin{align} &\int _{-\infty}^{+\infty}f(u)\mathrm{d}x=Ae^{-\frac {q\phi}{KT_e}}\int _{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{\frac {1}{2} mu^2}{KT_e}}\mathrm{d}u\\ &n=Ae^{-\frac {q\phi}{KT_e}}\int _{-\infty}^{+\infty}e^{-\lambda u^2}\mathrm{d}u\\ &\lambda=\frac{\frac {1}{2} m}{KT_e}\\ &\because \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\lambda x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\frac {\pi}{\lambda}}\\ &\therefore n=Ae^{-\frac {q\phi}{KT_e}}\sqrt{\frac {\pi}{\frac{\frac {1}{2} m}{KT_e}}}\\ &\because n_{\mathrm{e}}(\phi \rightarrow 0)=n_{\infty}\\ &\therefore n_{\infty}=A\sqrt{\frac {\pi}{\frac{\frac {1}{2} m}{KT_e}}}\\ &\therefore n_e=n_{\infty}e^{-\frac {q\phi}{KT_e}}=n_{\infty}e^{\frac {e\phi}{KT_e}}& \end{align} \]

在 \(3.5\) 节, 我们将用较完整的物理见解推导这个方程.

把 \(n_{\mathrm{i}}\) 和 \(n_{\mathrm{e}}\) 代人方程 (1-12), 得到

\[\frac{\mathrm{d}^{2} \phi}{\mathrm{d} x^{2}}=4 \pi e n_{\infty}\left\{\left[\exp \left(\frac{e \phi}{K T_{\mathrm{e}}}\right)\right]-1\right\} \]

\[\begin{align} &n_i=n_{\infty}\\ &n_e=n_{\infty}e^{\frac {e\phi}{KT_e}}\\ &\nabla^{2} \phi=\frac{\mathrm{d}^{2} \phi}{\mathrm{d} x^{2}}=-4 \pi e\left(n_{\mathrm{i}}-n_{\mathrm{e}}\right)=-4 \pi e\left(n_{\infty}-n_{\infty}e^{\frac {e\phi}{KT_e}}\right)=4 \pi n_{\infty}e\left(e^{\frac {e\phi}{KT_e}}-1\right) \end{align} \]

在 \(\left|e \phi / K T_{\mathrm{e}}\right| \ll 1\) 的区域, 式中的指数能用泰勒级数展开

\[\frac{\mathrm{d}^{2} \phi}{\mathrm{d} x^{2}}=4 \pi e n_{\infty}\left[\frac{e \phi}{K T_{\mathrm{e}}}+\frac{1}{2}\left(\frac{e \phi}{K T_{\mathrm{e}}}\right)^{2}+\cdots\right]\tag{1-13} \]

在接近栅极的区域, 不可能作简化, 因为在那里 \(\left|e \phi / K T_{\mathrm{e}}\right|\) 可能是大值. 幸好这 个区域对云 (叫做鞘层) 的厚度影响并不大, 因为在那个区域中, 电势非常迅速 地下降. 在方程 (1-13) 中只保留线性项, 得到

\[\frac{\mathrm{d}^{2} \phi}{\mathrm{d} x^{2}}=\frac{4 \pi n_{\infty} e^{2}}{K T_{\mathrm{e}}} \phi\tag{1-14} \]

定义

\[\lambda_{\mathrm{D}} \equiv\left(\frac{K T_{\mathrm{e}}}{4 \pi n e^{2}}\right)^{1 / 2}\tag{1-15} \]

式中, \(n\) 代替了 \(n_{\infty}\), 我们能写出方程 (1-14) 的解

\[\phi=\phi_{0} \exp \left(-|x| / \lambda_{\mathrm{D}}\right)\tag{1-16} \]

解二阶齐次微分方程\(\phi''-\frac 1 {\lambda_D^2}\phi=0\)

特征方程\(r^2-\frac 1 {\lambda_D^2}=0\),\(r^2=\frac 1 {\lambda_D^2}\),\(r=\pm\frac 1 {\lambda_D}\)

\(\phi=C_1e^{\frac 1 {\lambda_D}x}+C_2e^{-\frac 1 {\lambda_D}x}\)

在无穷处趋于零，确定系数

量 \(\lambda_{\mathrm{D}}\) 称为德拜长度 (Debye length), 它是屏蔽距离或鞘层厚度的量度.
应当注意, 当密度增加时, 由于每层等离子体包含了较多的电子, 所以正如 我们所期望的那样, \(\lambda_{\mathrm{D}}\) 减小. 此外, \(\lambda_{\mathrm{D}}\) 还随着 \(K T_{\mathrm{e}}\) 的增加而增加. 倘若没有热 骚动, 电荷云会收缩成一无限薄层. 最后, 在 \(\lambda_{\mathrm{D}}\) 定义中使用的是电子温度, 因为 电子比离子更容易迁移, 电子移动时通常会产生负电荷过剩或不足, 从而产生屏 蔽作用. 仅在特殊情况下, 才不会这样 (习题 1-5).
下面是方程 (1-15) 的两种有用形式:

\[\begin{array}{cll} \lambda_{\mathrm{D}}& =6.9\sqrt\frac T n \mathrm{~cm} \quad (T \text { 的单位为 } \mathrm{K}) \\ \lambda_{\mathrm{D}}&=740 \sqrt \frac {K T} n\mathrm{~cm}\quad (K T \text { 的单位为 } \mathrm{eV}) \end{array} \]

现在我们能哆确定 “准中性” 的意义.

如果系统的尺度 \(L\) 远大于 \(\lambda_{\mathrm{D}}\), 那么每 当出现电荷的局部集中或者在系统中引入外电势时, 它们就在比 \(L\) 短的距离内被 屏蔽, 使等离子体的大部分免受大电势或电场的影响. 在壁或一个障碍物的鞘层 外面, \(\nabla^{2} \phi\) 是很小的, 并且 \(n_{i}\) 近似等于 \(n_{\mathrm{e}}\), 作为一个典型值, \(n_{\mathrm{i}}\) 与 \(n_{\mathrm{e}}\) 的差别小 于 \(1 \times 10^{6}\). 这样一来, 只能有小的电荷不平衡, 并引起 \(K T / e\) 量级的电势. 等离 子体是 “准中性” 的, 也就是说, 等离子体中性到可以取 \(n_{\mathrm{i}} \simeq n_{\mathrm{e}} \simeq n\) (其中 \(n\) 是公 共密度, 称为等离子体密度), 但是还没有中性到所有感兴趣的电磁力都消失. 一个电离气体成为等离子体的一个判据是: 气体足够稠密, 以至于 \(\lambda_{\mathrm{D}}\) 远小 于 \(L\).
在单一属种的系统中 (如速调管和磁控管的电子流或回旋加速器的质子束), 德拜屏蔽现象也以更改的形式出现. 在这种情况下, 除非密度非常低（通常是这 样的), 任何粒子的局部集中都会引起未被屏蔽的强电场. 而一个外加电势, (如 来自金属丝探针的电势) 会通过靠近电极处的密度调整而被屏蔽. 单一种类的系 统, 或非中性等离子体不是严格的等离子体, 但是能用等离子体物理学的数学工 具来研究这类系统.

\(1.5\) 等离子体参量

仅仅当电荷云中有足够的粒子时, 上面给出的德拜屏蔽图像才是正确的. 很 明显, 倘若在鞘层区域只存在一个或两个粒子, 那么, 德拜屏蔽就不是一个统计 上正确的概念. 用方程 (1-17), 我们能够计算在 “德拜球” 中的粒子数 \(N_{\mathrm{D}}\) :

\[N_{\mathrm{D}}=n \frac{4}{3} \pi \lambda_{\mathrm{D}}^{3}=1380 T^{3 / 2} / n^{1 / 2} \quad(T \text { 的单位为 } \mathrm{K}) \]

除了 \(\lambda_{\mathrm{D}} \ll L\), “集体行为” 还要求

\[{\color{blue}N_{\mathrm{D}}\gg 1} \]

这是等离子体的第二个判据。

\(1.6\) 等离子体判据

我们已经给出了一种电离气体称为等离子体所必须满足的两个条件, 而第三 个条件是和碰撞有关的. 例如, 喷管尾气中的弱电离气体, 并不能看作一个等离 子体, 因为带电粒子和中性原子的碰撞是如此频繁, 以至于它们的运动受普通流 体动力学的力而不是受电磁力所支配. 如果 \(\omega\) 是典型的等离子体振荡频率, \(\tau\) 是 带电粒子与中性原子碰撞的平均时间, 则气体的行为像等离子体而不像中性气体 的条件是 \(\omega \tau>1\).

其物理含意为：电荷分离产生的等离子体震荡时间远小于粒子之间的碰撞时间。即电性质为主。

\(\omega>\frac 1 {\tau}\) 振荡频率>碰撞频率

所以, 等离子体必须满足的三个条件是:
(1) \(\lambda_{\mathrm{D}} \ll L\).

(2) $ N_{\mathrm{D}} \gg 1 .$
(3) $ \omega \tau>1 .$

1.7等离子体物理学的应用

气体放电。如日光灯、霓虹灯、电焊等。
受控热核聚变。磁约束和惯性约束。
气体激光器。如氦氖、X射线激光等。
空间物理学。主要是地球磁场。
天体扬理学。恒星演化、蟹状星云 、天体射流现象等。
激光火箭、等离子体天线等。