相对论基础笔记

• 爱因斯坦（Einstein):
  近代物理之父
  二十世纪的哥白尼
  新时空观的创始人
• 太阳的直径是110个地球；质量相当于33万个地球；如果是煤只能烧几千年；但是，他已经稳定的烧了50亿年。是什么使它燃烧了这么长时间？
• 核武器 - \(E=mc^2\)的应用

一.从经典物理到爱因斯坦的相对论

1.时空观

什么是时间？什么是空间？尽管有不少人给时空下过不少的定义，但很少能令人十分满意。下面主要讨论：

• 空间的各向同性问题。

• 时间的绝对性问题。

• 时空的相对性。

(1)远古人们的时空观

远古人的观念 ：大地是平坦的，它被安置在一只龟背上，而龟又漂浮于大海之中。
从经验上，怎么能想像地球是一个球体呢?
“习惯”的想法会认为：那些居住在我们的对点上的人不是就“掉下”去了吗?

(2)亚里士多德的时空观

• 两千多年以前，亚里士多德提出了新时空观：
  地球位于整个宇宙的中心。
  整个宇宙由环绕着地球的七个同心球壳组成。
  月亮、太阳、行星和恒星分别处在不同的球壳上，它们都作完美的圆运动。
• 亚里士多德的时空观的进步
  从时空观的角度评价：
  亚里土多德的时空观是把“上”和“下”这两个方向相对化了。我们看美国人在“下”，美国人看我们也是在“下”。
  也就是空间各个方向是等价的，没有一个方向是具有特别的绝对优越的性质。
  这就是空间方向上的相对性，提出这个观念，是人类走向科学时空观的重要一步。
• 亚里士多德时空观的特性
  • 在亚里士多德体系中，物体在宇宙中的位置具有关键的作用。空间的位置是绝对的，地球的球心就是宇宙的中心。
  • 其物体运动的原因被解释为：
    每个物体都有各自的天然位置，只要没有阻挡，每个物体都力图到达各自的天然位置。
    物体之所以会运动，其原因就是它们还没有到达自己的天然位置。
    亚里土多德把宇宙空间分为“月上”(比月球远)和“月下”(比月球近)两个完全不同的世界。太阳、月亮、星星等“天上”的东西的天然位置是在天球上，因而它们随着天球作圆运动。
    地面附近的物体的天然位置是在地球的中心，因此它们都作落体运动。
• 亚里士多德时空观的不足
  在亚里土多德的时空观里，某些位置(例如地球的球心)是非常特殊的。在支配物体运动的自然规律中，这些空间点具有决定性的作用。
  这种特性，可以叫做空间点的绝对性。
  用今天的语言来说，亚里士多德的空间，具有各向同性的性质，但却是不均匀的，即空间各点的位置并不是等价的。

（3）牛顿的时空观

• 以哥白尼一伽利略一牛顿为代表的新科学，在时空观上的特征就是否定了亚里士多德体系中空间位置的绝对意义：
  • 哥白尼否定了地球中心是整个宇宙中心这种绝对的意义。
  • 伽利略直接了当地提出了相对性原理。
  • 牛顿则打破了“月上”和“月下”的界限，发现苹果落地和月亮绕地球运行是由同一个原因引起的，而并不是由于它们要回到自己的“天然位置”上去。
• 牛顿的时空观的特点
  在牛顿的力学方程中没有宇宙中心的地位，任何时空点都是平等的。相对于任何时空点来计算，物理规律都是一样的。这就是新时空观中的新相对性。
  然而，牛顿尽管站在了亚里士多德的肩上，但是在他的力学中仍然引入了绝对静止的空间和绝对不变的时间这两个概念。即：空间的延伸和时间的流逝都是绝对的。
  在某种意义上可以说，在牛顿的体系中仍然含有亚里士多德式的绝对。即：空间和时间的绝对性。

2、时间、空间和运动

物理学是一门实验科学，物理规律都是从实验而且大都是从定量的实验中总结出来的（且可重复） 。 这是20世纪被称为物理世界的关键之一。
因此，在研究空间和时间的物理问题时，首先应当了解时间和空间是怎样量度的。

(1)时间的测量

• 第一个被记录的科学物理学的实验。（伽利略测摆的规律 ）
  1583年，有一位青年对比萨大教堂里的吊灯摆动发生了兴趣，准备研究一下摆的规律。可是，当时还没有钟表。
  怎样才能测定这种短暂的时间呢?这位年轻的实验家想出了一种办法。他一手按着自己的脉搏，数着跳动的次数，一边看着灯的运动。
  结果发现了一条规律：摆幅尽管可大可小，而来回摆动中脉搏跳动的次数却是一样的，也就是说摆的周期与摆幅无关。这个有名的测量可以说是第一个科学物理学的实验。这位聪明的实验家就是物理学的奠基人伽利略。
• 伽利略测量的启迪
  伽利略的方法表明了测量时间的关键是什么。
  原则上说，任何具有重复性的过程都可以当作一种计时的钟。
  重复的稳定性是钟好坏的判定标准。（机械表与石英表的比较）
  1967年以后，采用更稳定的“钟”作为标准，即以铯原子133Cs的基态超精细结构间的微波辐射周期T作为时间单位，T与1秒之间的关系是
  1秒＝9，192，631，770T。

(2)空间的测量

• 唐代的天文学家张遂(一行)为了测定子午线上一度的距离，用拉绳方法在河南省的开封、滑县、上蔡等地之间一段一段地测量。
  这是人类有记录的历史上严格按照用尺测长的最原始规定所进行的最大规模的测量了。
• 测量长度的基本工具是尺。
  有一定长度的东西都可以当作尺。
  人体的一部分就可以作为标准，英文中的英尺和脚是同一个字(foot)，原因就是这个单位当初是以脚长规定的。
  受环境因素的影响小的尺子是好尺子。
  测量方法就是从一点出发，一尺一尺地量到另一点为止。
  测量精度受尺子精度的影响(如光测)。

(3)何谓运动？

所谓运动，就宏观物理来说，就是一系列由时间和空间所标志的事件。
规定了时间和长度的测量法，就可以定量地研究物体的运动了。

1. 运动的相对性

• 相对性有两种：事件描述的相对性和运动形态的相对性。
  如采用“北京时间”或采用东京时间描述同一件事件的不同为事件描述的相对性。
  对于不同的观察者来说，同一运动也会表现出不同的形态为运动形态的相对性。
  而且，运动是绝对的。
• 下雨的观察
  在一个没有风的雨天，如果有两个人，一个是K，一个是K’，他们都来研究雨点的运动轨迹。
  
• 横渡河流的观察
  一人在静水中的游泳速率时1.1m/s，今欲横渡一宽度为400m、水流速度为0.55m/s的大河。若要达到河正对岸的一点，应如何确定划行方向？
  
• 速度的合成
  速度是标志物体运动快慢和运动方向的物理量。速度也有相对性。物体运动是快是慢，向什么方向，只有对于一定的参考系来讨论才有意义。
  经典速度合成的表达式为：
  

(4)光速不变-速度合成的不成立

1. 对光速度合成律失效
   光速C , 1到2的距离为L，1即将投球的时刻为t=0，则2看到1即将投球的时刻为
   \(t_{2投}=\frac{L}{C}\)
   
   如果球的速度为u，球A发出的光相对地的速度为c+u
   1投球动作用的时间间隔\(t=t_{1出}\)
   2看到1将球投出时刻\(\boldsymbol{t}_{2 \text { 出 }}=\boldsymbol{t}_{1 \text { 出 }}+\frac{\boldsymbol{L}}{\boldsymbol{C}+\boldsymbol{u}}\)
   
   总有办法做到

\[\frac{L}{c}> t_{1 出}+\frac{L}{c+u} \]

亦即

\[t_{2投}>t_{2出} \]

2. 以太假说
   以太的提出：如果我们仔细观察一下在海面上行驶的船，就会发现，由船激起的海浪的传播速度，一般也不与船的速度有关。因为，对一定的海面情况，海浪的速度是一定的，它与船速并无关系。波浪的传播介质是水。
   人们自然会想到一种类比，也许光是在某种“海洋”中的波。历史上这种观点流行一时，通常把传光的“海洋”叫做以太。
   由于光线能到处传播，所以假定以太也充满整个宇宙。
   这种假想的以太除了起着光传播媒介的作用外，我们却看不见它，也不能用其它方式感知它。
   为了能说明光传播的种种特征，不得不要求以太有许多特殊性质。例如：既要求以太有极大的刚性以使光波速度能高达每秒30万公里，同时又要求它对运动物体不施加任何阻力。这样的以太是不是真的存在呢?

3. 麦克耳逊-莫雷实验
   1887年，麦克尔逊和莫雷一起完成了一项著名的实验，来检验以太假说。
   他们的想法是这样的：如果在以太中光速是一定的，那么，当接收者以一定的速度相对于以太运动，光相对于他的速度在不同方向应是不同的。他看到迎面而来的光速大，从后面追来的光速小，即光速与接收者相对于以太的速度有关。如果能测量到这个差别，就支持了以太假说。
   但是，光速很大，一般物体速度都很小，所以，即使不同方向的光速是不相同的，我们也很难测量得出来。麦克尔逊—莫雷实验的巧妙之点正是在于他们不去测量不同方向的光速值本身，而是测量不同方向的速度之间的差。
   实验装置画如下图：
   
   容易计算，两束光的传播时间差是

\[\Delta t \approx \frac{L}{c} \frac{v^{2}}{c^{2}} \]

其中L是AC或AB的长度。利用两束光之间的干涉现象，可以测量出这个时差。
可是，实验结果让很多人失望，即没有观测到任何不为零的\(\Delta t\)。因此，出路只有两条：一是地球相对于以太的速度总为零，一是以太假说不对；二者必居其一。
前一个答案是不能令人接受的。因为，相对于太阳来说，地球有公转，还有自转；相对于银河系中心来说，还有太阳系本身的运动。怎么能认为恰恰是地球相对于以太的速度总为零呢？如果接受这一点，那不又是把地球看作一个地位极其特殊的天体了吗？自从哥白尼之后，人们再也不能同意任何形式的地球是宇宙中心的观念了。因此，结论只能是：以太假说是不对的！

4. 超新星爆发
   公元1054年的超新星爆发。九百多年前，当时我国宋朝的天文学家详细记载了这次著名的超新星爆发事件：1054年5月开始，非常亮，白天也能在天空上看得到；直到公元1056年三月，才看不到，历时二十二个月。这次爆发的残骸就形成了著名的金牛座中的星云，叫做蟹状星云。
   这条古老的记录同光速颇有关系！
   当一颗恒星发生超新星爆发时，它的外围物质向四面八方飞散。如果光线服从速度合成公式，那么按照类似于对投球运动的分析即知，A点向我们发出的光速是c+u，而B点向我们发来的光的速度则大约是c。由于蟹状星云距离地球约5千光年，爆发速度约是1500km/s。计算得\(\Delta t\approx 25\)年。既至少应有25年的观察。不符合事实。
   历史的记录是：岁余稍没，即一年多就看不见了。
   

5. 光速不变的含义
   光速不变指的是光线不服从经典力学的速度合成律。
   所谓光速的不变性，指的是当光在真空中传播时，它的速度总是—样的，其值与发光物体的运动状态无关。
   对于一束光，由静止观测者k来看速度是c，由运动的观测者来看，速度也是c。

6. 超光速问题
   有一种不正确的理解，认为光速极限是一切速度的极限。错了，光速只是物体运动速度的一种极限，或能量传递速度的一种极限。
   如果不注意这个条件，一般地谈速度，那么，找寻超光速的现象在物理学中并不是难事。
   例如：在节日的晚上，当探照灯射向高空的云层时，由于云层的反射，你会在云层上看到一个亮点。当地面上的探照灯慢慢转动时，亮点却以极快的速度在运动。如果能有足够高的云层，这个亮点的速度就可以超过光速。这时，沿着亮点运动的轨道并没有能量的传递，所以它的速度并不受光速极限的限制。
   可见，当没有能量传递时，超过光速是许可的。（例如你看两个飞船相对运动）

(5)相对性原理和伽利略变换

萨尔维阿蒂的大船：你和几个朋友带着几只蝴蝶和其他小飞虫被关在大船下面的主舱里，看不到外面。舱内放一只有几条鱼的鱼缸；挂上一个水瓶，让水一滴一滴地滴到下面的一个宽口罐里。观察：1、船静止不动时；2、船匀速运动时。

结论：从船中发生的任何一种现象，你都无法判断船是在运动还是不动。这称为伽利略相对性原理。

1. 伽利略相对性原理

2.伽利略变换

运动合成的推导：前面的下雨的例子。

伽利略变换是经典力学中用以在两个只以匀速相对移动的参考系之间变换的方法，属于一种被动态变换。伽利略变换在物体以接近光速运动时明显不成立[1]、亦或者是电磁过程也不会成立，这是相对论效应造成的。

在两个不同的惯性参照系中看同一个事件
设惯性系S 和相对S运动的惯性系\(S'\)

t时刻，物体到达P点

设一事件在惯性系\(S\)中的坐标为\((x,y,z,t)\)、在\(S'\)系中的坐标为\((x',y',z',t')\)。两个坐标系以相对匀速\(u\)运行，运行方向为\(x\)和\(x'\)，时间原点在时间\(t = t' = 0\)时重合。
其平移变换满足下式

（1） 平移变换

\[正变换 \begin{cases} x^{\prime}=x-u t \\ y^{\prime}=y \\ z^{\prime}=z \\ t^{\prime}=t \end{cases} \]

\[逆变换 \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l}x=x^{\prime}+u t^{\prime} \\ y=y^{\prime} \\ z=z^{\prime} \\ t=t^{\prime}\end{array} \end{array}\right. \]

有矩阵形式

\[\left(x^{\prime}, t^{\prime}\right)=(x, t)\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ -v & 1\end{array}\right) \]

• 空间间隔的绝对性（不变性）
  有位移变化量，\(\Delta x'=\Delta x-u \Delta t = \Delta x\)，说明运动长度在所有惯性系中相同

\(\Delta t\)表示测量位移的间隔量，同时测量时\(\Delta t = 0\)

（2） 速度变换

对变换公式两侧分别对各自时间求导，有伽利略速度变换公式

\[正变换\left\{\begin{array}{l}v_{x}^{\prime}=v_{x}-u \\ v_{y}^{\prime}=v_{y} \\ v_{z}^{\prime}=v_{z}\end{array}\right. \qquad 逆变换\left\{\begin{array}{l}v_{x}=v_{x}^{\prime}+u \\ \nu_{y}=v_{y}^{\prime} \\ v_{z}=v_{z}^{\prime}\end{array}\right. \]

• 时间间隔的绝对性（不变性）
  有时间变化量，\(\Delta t = \Delta t'\)，即所有惯性系中运动的时间间隔相同

（3） 加速度变换

再对各式两侧分别对时间求导，有伽利略加速度变换公式

\[\begin{array}{l}a_{x}^{\prime}=a_{x}-\frac{d u}{d t}=a_{x} \\ a_{y}^{\prime}=a_{y} \\ a_{z}^{\prime}=a_{z}\end{array} \qquad \begin{array}{l}a_{x}=a_{x}^{\prime}+\frac{d u}{d t^{\prime}}=a_{x}' \\ a_{y}=a_{y}^{\prime} \\ a_{z}=a_{z}^{\prime}\end{array} \]

即，在两惯性系中，\(\vec{a}^{\prime}=\vec{a}\)

3.经典力学的时空观

长度的绝对性，时间间隔的绝对性是伽利略变换的必然结果

1.运动的尺长度不变

\[\begin{array}{l} 测量尺子右端的时刻t_1\\ 测量尺子左端的时刻t_2\\ x_1'=x_1-ut_1\\ x_2'=x_2-ut_2\\ x_2'-x_1'=x_2-x_1-u(t_2-t_1)\\ 即\Delta x'=\Delta x-u\Delta t\\ 左右端同时测量，\Delta t=0\\ \Delta x'=\Delta x \end{array} \]

2.时间间隔的绝对性

\[t_1'-t_2'=t_2-t_1\\ \Delta t'=\Delta t \]

(6)狭义相对论的建立

在麦克耳逊-莫雷实验的结果出来以后，洛伦兹尝试给出合理的解释，并导出了著名的洛伦兹公式。然而，公式是对的，解释却是错的。也引来了物理学史上的一个悲剧。
爱因斯坦理解了真实的物理：
1.一切物理规律在任何惯性系中形式相同--- 相对性原理
2.光在真空中的速度与发射体的运动状态无关 —— 光速不变原理

1.洛伦兹变换

(1)洛伦兹变换的导出

V：S'系相对于S系的速度。
\(t=t'=0,O,O'\)重合，同时发出闪光，经一段时间光传到P点。
\(S\)中的坐标为\(P(x,y,z,t)\)、在\(S'\)系中的坐标为\(P(x',y',z',t')\)，寻找两个参考系中相应的坐标值之间的关系。

(2)洛仑兹变换式

在光速不变和相对性原理下容易得到洛仑兹变换式。

\[\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=\frac{x-v t}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \\ y^{\prime}=y \\ z^{\prime}=z \\ t^{\prime}=\frac{t-\frac{v}{c^{2}} x}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \end{array}\right. \]

(3)相对论速度变换

\[正变换\left\{ \begin{array}{l} {u}_{x}^{\prime}=\frac{{u}_{x}-{v}}{{1}-\frac{{v}}{c^{2}} {u}_{x}} \\ {u}_{y}^{\prime}=\frac{{u}_{y} \sqrt{1-\beta^{2}}}{{1}-\frac{{v}}{c^{2}} {u}_{x}} \\ {u}_{z}^{\prime}=\frac{{u}_{z} \sqrt{1-\beta^{2}}}{{1}-\frac{{v}}{c^{2}} {u}_{x}} \end{array}\right. \]

\[逆变换\left\{ \begin{array}{l} u_{x}=\frac{u_{x}^{\prime}+v}{1+\frac{v}{c^{2}} u_{x}^{\prime}} \\ u_{y}=\frac{u_{y}^{\prime} \sqrt{1-\beta^{2}}}{1+\frac{v}{c^{2}} u_{x}^{\prime}} \\ u_{z}=\frac{u_{z}^{\prime} \sqrt{1-\beta^{2}}}{1+\frac{v}{c^{2}} u_{x}^{\prime}} \end{array}\right. \]

• 设想有一飞船以0.80c 的速度在地球上空飞行，
  如果这时从飞船上沿速度方向发射一物体，物体
  相对飞船速度为0.90c 。
  问：从地面上看，物体速度多大？
  
  解选飞船为S'系，地面为S系

\[\begin{array}{l} v=0.80 c \\u_{x}^{\prime}=0.90 c \\ u_{x}=\frac{u_{x}^{\prime}+v}{1+\frac{v}{c^{2}} u_{x}^{\prime}}=\frac{0.90 c+0.80 c}{1+0.80 \times 0.90}=0.99 c \end{array} \]

(7)钟和尺的绝对和相对

所谓两个事件是同时的，意思是说，两件事的空间位置可以不同，但发生的时间是一样的。

1.同时性的相对性

从一个参考系观测，在不同地点同时发生的两件事，从另一个（与前者有相对运动的）参考系观测不是同时发生的。------ 光速不变原理的直接结果

• 以爱因斯坦火车为例
  
  S' Einstein train
  S 地面参考系
  在火车上 \(A^{\prime} 、 B^{\prime}\) 分别放置信号接收器 ,中点 \(M^{\prime}\) 放置光信号发生器 \(t=t^{\prime}=0, M^{\prime}\) 发一光信号.
  
  事件1：A'接收到闪光。事件2：B'接收到闪光。
  • 研究的问题:两事件发生的时间间隔
    S'中，M'发出的闪光，光速为c
    \(\because \overline{A^{\prime} M^{\prime}}=\overline{B^{\prime} M^{\prime}}\)
    \(\therefore A^{\prime} B^{\prime} \text { 同时接收到光信号 }。事件1、事件2（不同地点的），同时发生\)
    S系中的观察者又如何看呢？
    M'发出的闪光，光速也为c。A逃离光线， B迎上光线，B比A早收到光。事件1、事件2 不同时发生，事件2先发生。
  • 量化描述－由洛仑兹变换看同时性的相对性
  \[\begin{array}{c} \ &S'&S\\ 事件1&(x_1',t_1')&(x_1,t_1)\\ 事件2&(x_2',t_2')&(x_2,t_2)\\ \ &\Delta t'=t_2'-t_1'=0&\Delta t=t_2-t_1=?\\ \end{array} \]

\[ \begin{array}{l} \because \Delta t^{\prime}=t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}=\frac{\Delta t-\frac{v}{c^{2}} \Delta x}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\\ 若\Delta x\ne 0（一二事件在S系中的位置不同）,已知\Delta t'\ne 0\\ \therefore \Delta t\ne 0\\ \end{array} \]

同时性的相对性。
注意：当速度远远小于c时，两个惯性系结果相同。

• 谁 是 谋 杀 者？
  按照狭义相对论，不仅“同时”是相对的，有时候，甚至事情的先后也都是相对的。
  
  一节长为10米的列车，A在车后部，B在车前部。当列车以0．6c的高速度通过一个站台的时候，突然站台上的人看到A先向B开枪，过了12．5纳秒，B又向A发射。因而站台上的人作证：这场抢战是由A挑起的。但是，车上的乘客却提供相反的情况，他们说，是B先开枪，过了10纳秒，A才动手。事件是由B发动的。
  到底是谁先动手的呢?
  记时空坐标

	火车坐标系为\(S\)	站台坐标系为\(S'\)
A开枪事件	\((x_A,t_A)\)	\((x_A',t_A')\)
B开枪事件	\((x_B,t_B)\)	\((x_B',t_B')\)

由题意得

\[\Delta x = x_B- x_A = 10m \\ \Delta t = t_B - t_A = 12.5 \times 12.5^{-9}s \\ \Delta t' = t_B - t_A = 10\times 10^{-9}s \]

火车坐标系中，AB事件的时间间隔内光信号传播距离

\[d = \Delta t \cdot c = 0.3m \]

不到车厢距离10m，所以时间AB无因果性，AB开枪动作的先后是相对的

• 因 果 关 系
  如果事件的先后次序是相对的，那么会不会在某个参考系中能看到一个人的死亡早于他的诞生，一列火车的到达早于它的出发呢?
  由于光的速度是极限速度，不能用任何信号联系起的两个事件是不可能互为因果的。而能用信号联系的两个事件就可能存在因果关系。
  两个事件具有因果关系的必要条件是两者可以用等于或小于光速的信号联系起来。
  再看一看上节讨论过的A和B的枪战，由于A和B并不满足这个必要条件(在十几个毫微秒时间内，光信号走不到十米远)，所以，A和B开枪动作的先后是相对的。
  正是光速不变性保证了因果关系的成立，保证我们不会看到任何倒因为果的现象。

2.有趣的结果之一运动的时钟变慢

我们先来规定原时：
在某一参考系中，同一地点先后发生的两个事件的时间间隔叫原时。用t，表示。由洛仑兹变换式

\[\Delta t=\frac{\Delta t'}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\\ \Delta t>\Delta t' \]

结果-运动的时钟变慢了！
多做飞机是否可以长寿哪？

在列车中由地板向车顶垂直发射一个光信号，这个光信号又反射回地板，往返时间为

\[\Delta t^{\prime}=\frac{2 L^{\prime}}{C}\\ \to L^{\prime}=\frac{C \Delta t^{\prime}}{2}\quad(1) \]

铁路的观察者看到这一事件的时间间隔

\[\Delta t=\frac{2 L}{c} \\\to L=\frac{C \Delta t}{2}\quad(2)\\ 且 L=\sqrt{L^{\prime 2}+\left(\frac{v \Delta t}{2}\right)^{2}}\quad(3) \]

将（1），（2）代入(3），得

\[\Delta t=\frac{\Delta t^{\prime}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\\ \Delta t>\Delta t' \]

• 多做飞机是否可以长寿哪？

\[\Delta t=\tau / \sqrt{1-(v / c)^{2}}\]

运动速度越快，时间流逝越慢。乘航天飞机（1万千米/小时）每秒延迟10-10秒。

• \(\mu\)子的寿命
  有一种粒子，叫做\(\mu\)子。它的寿命很短，从产生到衰变，只有大约百万分之二秒(2.2×10-6秒)。
  这样，即使\(\mu\)子以光速运动，也只能走过2.2×10-6秒×c=660米的距离。
  可是，宇宙射线产生\(\mu\)子的区域约在1500-2000米的高空，但是我们发现不少\(\mu\)子从上层大气中跑到地面上来了。这是为什么?
  利用运动钟变慢的道理，不难解开这个谜。
  从实验室产生的\(\mu\)子寿命只有2.2×10 -6秒（注意：寿命是对于\(\mu\)子静止的参考系而言的），这样即使它以光速运动,也只能走：2.2×10^-6 ×3×10^8=660m
  若\(\mu\)子的速度是0.98c，在地面上看来，

\[\Delta t=2.2 \times 10^{-6} / \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}=11 \times 10^{-6}\]

可见 \(\Delta t \approx 11 \times 10^{-6}\) 秒; 比 \(2.2 \times 10^{-6}\) 秒大，即 \(\mu\) 子的寿命变长了, 因而它可以飞过距离为: \(L=V\) \(\Delta t \approx 3250.3\) 米 \(>2000\) 米。
即能从高空飞到地面上来。
而随 \(\mu\) 子运动的观察者所看到的 \(\mu\) 子的寿命应是 \(2.2 \times 10^{-6}\) 秒, 那么他怎 么解释 \(\mu\) 子到达地面这一事实呢?
这只能有一种可能, 即随 \(\mu\) 子运 动的观察者认为, \(\mu\) 子出生地到地面的 距离变短了。即：
一旦时间间隔不变性不成立, 则长 度的不变性也要被破坏。

• 双生子佯谬
  甲、乙是一对孪生弟兄。他们计划做一次高速飞船旅行，来检验一下狭义相对论。甲留在发射基地，乙周游天外。当飞船再度回到基地时，是甲比乙年轻，还是乙比甲年轻？这里有两种答案：(1)，甲看乙船上的钟变慢了，所以，甲说乙年轻些；(2)，乙看基地上的钟变慢了，所以，乙说甲应该比他更年轻一些。在这个两难的境地，运动钟变慢的结论，到底应当怎么办？这是个有名的疑难，叫做“双生子佯谬”。
  
  

\[\Delta t'>\Delta t \]

问题的关键是乙要回到出发点。倘使乙的飞船仅仅作匀速直线运动，是办不到这一点的。乙的飞行路线必然是有来有去，或者是转一个圈子。因此，在甲看来，乙是在做有速度变化的运动，当然，在乙看来，甲相对于他也在做变速运动。
按照运动钟变慢的理论，甲看乙钟变慢，乙看甲钟变慢这种对称性，只有当甲和乙的相对运动速度不变时，才能保持。或者说，只有互相作匀速直线运动的两个惯性参考系，互相之间才是等价的。一旦出现了变速的相对运动，就不能使用这种对称性了。
1966年，真的做了一次双生子旅游实验，用来判断到底那个寿命长，同时也一劳永逸地结束了纯理论的争论。不过旅游的不是人，仍然是\(\mu\)子。旅途也不在天外，而是一个直径大约为十四米的圆环。 \(\mu\)子从一点出发沿着圆轨道运动再回到出发点，这同乙的旅行方式是一样的。实验的结果是，旅行后的\(\mu\)子的确比未经旅行的同类年轻了。我们似乎可以这样作结论了：
谁相对于整个宇宙做更多的变速运动，谁就会活得更长久。

3有趣的结果之一长度收缩

对运动长度的测量问题
怎么测？ 同时测！
定义原长：棒静止时测得的它的长度。也称固有长度。棒静止在S'系中，原长\(l_0\)
棒以极高的速度相对S系运动,S系测得棒的长度值是什么呢？
同时测的条件是必要的

\[\begin{array}{c} \ &S'&S\\ 事件1测量左端位置&(x_1',t_1')&(x_1,t_1)\\ 事件2测量右端位置&(x_2',t_2')&(x_2,t_2)\\ \ &\ &\Delta t=t_2-t_1=0\\ \ & l_0=x_2'-x_1' & l=x_2-x_1\\ \end{array} \]

由洛仑兹变换

\[\Delta x^{\prime}=\frac{\Delta x-v \Delta t}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\\ \to l=l_{0} \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} \]

• 汤普金斯先生的错误
  汤普金斯先生是《物理世界奇遇记》里的主人翁。
  书的作者盖莫夫说，汤普金斯先生来到一座奇异的城市，由于在城市里极限速度(相应于真实世界中的光速)异乎寻常地小。因此，他很容易看到各种相对论效应。
  汤普金斯先生说，当他以高速骑自行车时，他发现这个城市都变扁了。
  汤普金斯的所见所闻，几十年来被物理学家认为是正确|的。大家相信，只要我们能以接近光速的速度运动，那么，我们也会象汤普金斯那样，看到一个扁的世界。由动尺缩短这个相对论效应，似乎很自然得到这个结论。
  然而，它是错误的。运动尺的缩短，并不能证明汤普金斯先生将看到一个变扁的世界。
  关键在于尺缩是根据“同时进行拍照”而得到的。汤普金斯先生的“看”，恰恰不符合这个要求。
  因为当眼睛“看”到一个物体时，意味着物体各部分发射的光子同时到达眼睛，形成了像。这样，这些光子就不可能是在同一时刻发射出来的，因为物体距眼睛的距离不同。离开观察者较远的点，必定有较早的发射时刻。近的点，则有较迟的发射时刻。这就同尺长测量中要求的“同时”是矛盾的。
  因此，我们根本看不到汤普金斯先生所说的那种景象。到底会看到怎样的景象呢？