剑指offer-数组中的逆序对

题目描述

在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007

 

输入描述:

题目保证输入的数组中没有的相同的数字

数据范围：

对于%50的数据,size<=10^4

对于%75的数据,size<=10^5

对于%100的数据,size<=2*10^5

 

示例输入

1,2,3,4,5,6,7,0

示例输出

7

 

解题思路

       看到这个题目，我们的第一反应是顺序扫描整个数组。没扫描到一个数组的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)这个数字比较，因此这个算法的时间复杂度为O(n^2)。

       我们以数组{7,5,6,4}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候，我们不拿ta和后面的每一个数字作比较，否则时间复杂度就是O(n^2)，因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。

                                                     

 

　　(a) 把长度为4的数组分解成两个长度为2的子数组；

　　(b) 把长度为2的数组分解成两个成都为1的子数组；

　　(c) 把长度为1的子数组 合并、排序并统计逆序对 ；

　　(d) 把长度为2的子数组合并、排序，并统计逆序对；

       在上图（a）和（b）中，我们先把数组分解成两个长度为2的子数组，再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组，一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7大于5，因此（7,5）组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}、{4}中也有逆序对（6,4）。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组 排序 如上图（c）所示， 以免在以后的统计过程中再重复统计。

      接下来我们统计两个长度为2的子数组子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。

      我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾，并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字，则构成逆序对，并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数，如下图（a）和（c）所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字，则不构成逆序对，如图b所示。每一次比较的时候，我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中，确保 辅助数组（记为copy） 中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后，把对应的指针向前移动一位，接下来进行下一轮比较。

     

       过程：先把数组分割成子数组，先统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中，还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉，我们不难发现这个过程实际上就是归并排序。

 

代码

 

class Solution {
public:
    int InversePairs(vector<int> data) {
        int len = data.size();
        if(len == 0)
            return 0;
        vector<int> copy(len);
        for(int i = 0;i < len;i++)
            copy[i] = data[i];
        long count = Pairs(data, copy, 0, len-1);
        return count%1000000007;
    }
    long Pairs(vector<int> &data, vector<int> &copy, int start, int end){
        if(start == end)
            return 0;
        int len = (end - start)/2;
        long left = Pairs(copy, data, start, start+len);
        long right = Pairs(copy, data, start+len+1, end);
        long count = 0;
        int index = end;
        int i = start+len;
        int j = end;
        //从尾至头依次比较两子数组中的数字，并降序复制到copy中
        while(i >= start&&j > start+len){
            //若data[i]>data[j]，说明后数组在data[j]以前的数字均可与data[i]组成逆序对
            if(data[i] > data[j]){
                count += j-start-len;
                copy[index--] = data[i--];
            }
            else{
                copy[index--] = data[j--];
            }
        }
        //把两子数组剩下的数字复制到copy中
        for(;i >= start;i--)
            copy[index--] = data[i];
        for(;j > start+len;j--)
            copy[index--] = data[j];
        return count+left+right;
    }
};