【浅谈数位计数一类问题】

背景：SDOI2014 DAY1 T2亮瞎了本渣的狗眼……自动机上跑数位Dp，于是本渣又看了看数位计数类问题（2009集训队2篇论文）

题目：一般都是涉及到要把整数拆分成各个位置上的书，讨论之间的一些关系；或者是涉及到进制问题（和拆分本质一样）

说明：

1、肯定是能暴力的……所以拿分不是问题

2、高效的方法一般都是分治，比如要询问一个很大的区间，就去分成各个小区间，而区间的选择一般都有特点性，根据题目的要求来划分区间，比较多的是按数的位数划分，如[0,9] [10,99] [100,999]……

3、划分上面的状态后一般都能写出递推的式子，所以能log级别合并区间

4、所以总体的时间效率很可观

————————————————————————————————————————————————

下面附上SDOI2014 DAY1 T2：

题意：计算不大于 N，且不包含 S 中任意一个数字串的数的个数

题解：

N = 10^l
的情况：计算长度为 l 1，不包含 S 中任意一个字符串
的字符串数量。
建出 S 的 AC 自动机；f(i;，j) 表示长度为 i，且最长的在自动机中
出现的后缀对应的节点为 j 的字符串数量。
用 f(i; j) 更新所有合法的 f(i + 1， next(j， c))。
O(lL)。

一般情况。
长度小于 l 的所有 (合法) 串都在统计范围内，用之前算法解决；
考虑长度等于 l 的串。
不考虑不包含 S 中串的限制，我们统计的数字串应当满足前 k
位与 N 相等，且第 k + 1 位小于 N 的对应位。
从高到低确定每一位；f(i,j,0) 表示前 i 位在自动机中对应节点
j，且前 i 位都与 N 相等的（i 位）串的数量；f(i， j，1) 表示前 i
位对应节点 j，且前 k < i 位与 N 相等，第 k + 1 位小于 N 的串
的数量。
f(i，j， 0) 更新 f(i + 1, next(j，Ni+1)， 0)、
f(i+1, next(j，c), 1) (c < Ni+1,f(i, j, 1) 更新 f(i+1, next(j, c), 1)。
O(lL)。