【BZOJ 1019】【SHOI2008】汉诺塔（待定系数法递推）

1019: [SHOI2008]汉诺塔

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Description

汉诺塔由三根柱子（分别用A B C表示）和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上，大的在下面，小的在上面，形成了一个塔状的锥形体。  对汉诺塔的一次合法的操作是指：从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层，同时要保证被移动的盘子一定放在比它更大的盘子上面（如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求）。我们可以用两个字母来描述一次操作：第一个字母代表起始柱子，第二个字母代表目标柱子。例如，AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮助我们完成这个游戏。首先，在任何操作执行之前，我们以任意的次序为六种操作（AB、AC、BA、BC、CA和CB）赋予不同的优先级，然后，我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子，直到所有的盘子都从柱子A移动到另一根柱子：（1）这种操作是所有合法操作中优先级最高的；（2）这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移动的那个盘子。可以证明，上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级，计算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。

Input

输入有两行。第一行为一个整数n（1≤n≤30），代表盘子的个数。第二行是一串大写的ABC字符，代表六种操作的优先级，靠前的操作具有较高的优先级。每种操作都由一个空格隔开。

Output

只需输出一个数，这个数表示移动的次数。我们保证答案不会超过10的18次方。

Sample Input

3
AB BC CA BA CB AC

Sample Output

7

HINT

 

Source

 

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分析：因为汉诺塔问题都是递归解决，所以在优先级不变的情况下，f(n)与f(n-1)满足递推关系，即f(n)=a*f(n-1)+b，所以暴力f(3)f(4)f(5)，求出a,b,然后递推后面f[n]

code:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<string>
using namespace std;
long long f[35];
char s[7][3];
int stack[4][6],len[4],m,n;
int dfs(int k,char c)
{
    if(len[1]==0&&len[2]==0) return k-1;
    if(len[1]==0&&len[3]==0) return k-1;
    for(int i=1;i<=6;++i) 
        if(s[i][0]!=c||k==1)
        {
            int x,y;
            if(s[i][0]=='A') x=1;if(s[i][0]=='B') x=2;if(s[i][0]=='C') x=3;
            if(s[i][1]=='A') y=1;if(s[i][1]=='B') y=2;if(s[i][1]=='C') y=3;
            if(len[x]<=0) continue;
            if(stack[x][len[x]]>stack[y][len[y]]&&len[y]>0) continue;
            --len[x],++len[y];
            stack[y][len[y]]=stack[x][len[x]+1];
            return dfs(k+1,s[i][1]);
        }
    return 0;
}
int main()
{
    freopen("ce.in","r",stdin);
    freopen("ce.out","w",stdout);
    scanf("%d\n",&m);
    for(int i=1;i<=6;++i)
        for(int j=0;j<=2;++j) scanf("%c",&s[i][j]); 
    memset(len,0,sizeof(len));
    memset(stack,0,sizeof(stack));
    stack[1][1]=1,len[1]=1;
    f[1]=dfs(1,'D');
    memset(len,0,sizeof(len));
    memset(stack,0,sizeof(stack));
    stack[1][1]=2,stack[1][2]=1,len[1]=2;
    f[2]=dfs(1,'D');
    memset(len,0,sizeof(len));
    memset(stack,0,sizeof(stack));
    stack[1][1]=3,stack[1][2]=2,stack[1][3]=1,len[1]=3;
    f[3]=dfs(1,'D');
    memset(len,0,sizeof(len));
    memset(stack,0,sizeof(stack));
    stack[1][1]=4,stack[1][2]=3,stack[1][3]=2,stack[1][4]=1,len[1]=4;
    f[4]=dfs(1,'D');
    memset(len,0,sizeof(len));
    memset(stack,0,sizeof(stack));
    stack[1][1]=5,stack[1][2]=4,stack[1][3]=3,stack[1][4]=2,stack[1][5]=1,len[1]=5;
    f[5]=dfs(1,'D');
    int a=(f[5]-f[4])/(f[4]-f[3]);
    int b=f[4]-a*f[3];
    for(int i=6;i<=m;++i) f[i]=a*(f[i-1])+b;
    printf("%lld",f[m]);
    return 0;
}