题解 P2517 【[HAOI2010]订货】

DP做法

这道题的做法很多，但是我认为~其他题解讲的不很具体~

我就来讲一下我思考的过程吧qwq

方程还是比较好列的：设\(F[i,j]\)表示前i个月的任务完成后仓库里剩余的货物量为\(j\)时的最小花费

则有方程：

\[F[i,j]=min\{F[i-1,k]+m*k+d[i]*(j+u[i]-k)\},k\leqslant j+u[i] \]

其中\(m*k\)为囤积货物的费用，\(j+u[i]-k\)为这个月新买的货物

但是这样是\(O(n*S^2)\)的，需要优化：

把与k有关的项提出来，方程化为：

\[F[i,j]=min\{F[i-1,k]+(m-d[i])*k\}+d[i]*(j+u[i]),k\leqslant min(j+u[i],s) \]

我们可以先不管与k无关的项，最后再加上即可，先记为：

\[F[i,j]=min\{F[i-1,k]+(m-d[i])*k\},k\leqslant min(j+u[i],s) \]

再写出\(F[i,j-1]\)的表达式：

\[F[i,j-1]=min\{F[i-1,k]+(m-d[i])*k\},k\leqslant min(j+u[i]-1,s) \]

便可以发现，\(j\)每增大\(1\)，\(F[i,j]\)的取值范围只比\(F[i,j-1]\)的取值范围大了\(1\)，那么我们可以将方程化简为：

\[F[i,j]=min(F[i,j-1],F[i,j+u[i]]+(j+u[i])*m-d[i]*(u[i]+j)) \]

显然 \(j=0\)的时候需要枚举\(k\)算一下

\(PS：\)注意判断一下\(j+u[i]\)有没有超出边界

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <cctype>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;

#define inf 0x3f3f3f3f
typedef long long LL;
#define il inline

il int read(int x=0,int f=1,char ch='0')
{
    while(!isdigit(ch=getchar())) if(ch=='-') f=-1;
    while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}

//f[i][j] :前i个月剩余的货物量为j时的最小花费
//f[i][j]=min{f[i-1][k]+m*k+d[i]*(j+u[i]-k)},k<=j+u[i]

//f[i][j]=min{f[i-1][k]+(m-d[i])*k},k<=min(j+u[i],s)
//f[i][j-1]=min{f[i-1][k]+(m-d[i])*k},k<=min(j+u[i]-1,s)

//f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i-1][j+u[i]]+(j+u[i])*m-d[i]*(u[i]+j))

//f[i][j]+=+d[i]*(u[i]+j)

const int N=50+5,S=1e4+5;
int f[N][S];
int n,m,s;
int u[N],d[N];

il void work()
{
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(int k=0;k<=0+u[i]&&k<=s;++k) f[i][0]=min(f[i][0],f[i-1][k]+(m-d[i])*k);
        for(int j=1;j<=s;++j)
        {
            if(j+u[i]<=s) f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i-1][j+u[i]]+(j+u[i])*m-d[i]*(u[i]+j));
            else f[i][j]=f[i][j-1];
        }
        for(int j=0;j<=s;++j) f[i][j]+=d[i]*(u[i]+j);
    }
    int ans=f[n][0];

    printf("%d\n",ans);
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&u[i]);
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&d[i]);
    work();    
    return 0;
}