BZOJ 1010: 玩具装箱toy (斜率优化dp)

Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

 

思路:我们不难看出 这是一维的整数划分问题我们可以推出状态方程
dp[i]=min(dp[j]+(i−j−1+sum[i]−sum[j]−L)2),(0<=j<i) 时间复杂度为O(n2)

然后我们经过证明决策单调性后可以用斜率优化dp

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<set>
#include<list>
#include<deque>
#include<map>
#include<queue>
#define ll long long int
using namespace std;
inline ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline ll lcm(ll a,ll b){return a/gcd(a,b)*b;}
int moth[13]={0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};
int dir[4][2]={1,0 ,0,1 ,-1,0 ,0,-1};
int dirs[8][2]={1,0 ,0,1 ,-1,0 ,0,-1, -1,-1 ,-1,1 ,1,-1 ,1,1};
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll mod=1e9+7;
ll n,c;
ll sum[50007];
ll a[50007];
ll dp[50007];
ll q[50007];
double slope(ll j,ll k){
    return (dp[j]+(j+sum[j]+c)*(j+sum[j]+c)-dp[k]-(k+sum[k]+c)*(k+sum[k]+c))
    /(2.0*(j+sum[j]-k-sum[k]));
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    while(cin>>n>>c){
        ++c;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            cin>>a[i];
            sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        }
        int l,r;
        l=r=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            while(l<r && slope(q[l],q[l+1])<i+sum[i]) ++l;
            dp[i]=dp[q[l]]+(i+sum[i]-q[l]-sum[q[l]]-c)*(i+sum[i]-q[l]-sum[q[l]]-c);
            while(l<r && slope(q[r-1],q[r])>slope(q[r],i)) --r;
            q[++r]=i;
        }
        cout<<dp[n]<<endl;
    }
    return 0;
}