[国家集训队2011]Crash的文明世界 …

题目：
Crash小朋友最近迷上了一款游戏——文明5(CivilizationV)。在这个游戏中，玩家可以建立和发展自己的国家，通过外交和别的国家交流，或是通过战争征服别的国家。
现在Crash已经拥有了一个N个城市的国家，这些城市之间通过道路相连。由于建设道路是有花费的，因此Crash只修建了N-1条道路连接这些城市，不过可以保证任意两个城市都有路径相通。
在游戏中，Crash需要选择一个城市作为他的国家的首都，选择首都需要考虑很多指标，有一个指标是这样的：


其中S(i)表示第i个城市的指标值，dist(i,j)表示第i个城市到第j个城市需要经过的道路条数的最小值，k为一个常数且为正整数。
因此Crash交给你一个简单的任务：给出城市之间的道路，对于每个城市，输出这个城市的指标值，由于指标值可能会很大，所以你只需要输出这个数mod10007的值。


分析：
出题人的解法是树分治，不过在网上能找到一篇神奇的题解：

这篇题解是基于第二类斯特林（Stirling）数的。我们先来看一下这个“第二类斯特林数”到底是什么东西。

Wiki的定义：“第二类斯特林数是n个元素的集定义k个等价类的方案数”。
什么意思呢？它是这样的一个函数S(n,k)，代表将n个人分成k组（组之间不可区分）的方案数。也可以理解为，将n个不同的小球放入k个相同的盒子，要求所有盒子非空的方案数。

斯特林数有一个递推公式：S(n,k)=S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k)。边界条件S(n,1)=S(n,n)=1.
边界条件很好理解：n个小球放进一个盒子只有一种方案，放进n个相同盒子（每个盒子非空）也只有一种方案，即每个球一个盒子。
那递推关系怎么理解呢？n个小球放入k个相同盒子，每个盒子非空，那么有两种可能：
①第n个小球单独占一个盒子，此时其余n-1个小球占k-1个盒子，方案数是S(n-1,k-1)
②第n个小球放进前面个某个盒子，那么其余n-1个小球必然占k个盒子，第n个球可以放进k个盒子中的任意一个，方案数是k*S(n-1,k)。

并且，斯特林数还有一个很好的性质：

其中的含义是n选m的排列数（即n(n-1)...(n-m+1)）。
顺便插一句：排列数还有一种高端洋气的写法：
（那篇题解中就是这么写的，但他打不出来角标，就写成下划线了……）

那么，为什么它是对的？从组合数的意义考虑。
x^n的意义是：n个不同的小球放进x个不同的盒子，允许有空盒的方案数。（每个球都有x种放法）
我们关注等式右边的某一项：S(n,i)*P(x,i)。S(n,i)代表把n个不同小球放进i个相同的盒子，P(x,i)的意义则是：从1~x中有序地取出i个数，来给这i个盒子标号的方案数。
换句话说，S(n,i)*P(x,i)就是：n个不同小球放进x个不同的盒子，其中i个盒子非空的方案数。
自然，对i从1到n求和后就是x^n了。

斯特林数在这道题中有什么用呢？一个自然的想法是：对节点i，记录f[i][j]=∑P(dist(x,i),j)，x=1..n。但这个方程难以递推。假设我们知道了g[i][j]=∑P(dist(x,i),j)，x是i的后代，那么对于某节点v和其父亲u，有dist(x,u)=dist(x,v)+1，其中x是v的后代。但P(dist(x,u),j)难以快速和P(dist(x,v), j)即P(dist(x,u)-1 , j)建立关系。
但是！排列无法迅速建立关系，组合却可以！我们有公式C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)。

我们考虑把排列改成组合。设down[i][j]=∑C(dist(x,i),j),x是i的后代。在用u的某儿子v去更新u时，我们只需要让down[v]“走一步”（即在杨辉三角中向下移动一行），就能把v后代到v的结果变成u后代到u的结果。
在一遍DP出down后，再设f[i][j]=∑C(dist(x,i),j),x=1..n。它比down[i][j]多包含了i“上方”的那些节点。当我们用u去更新u的儿子v时，先让down[u]走一步，然后再减去down[v]走两步的结果，再加上down[v]，就得到了f[v]。

代码：
posted @ 2015-03-24 19:09  cstdio  阅读(152)  评论(0)  编辑  收藏  举报