[CF 329E]Evil题解翻译
题解翻译
这道题的解法实际上非常简单：http://codeforces.com/contest/329/submission/4122927这道题要求我们证明一大堆东西（下面的证明超过80行）。
假设n>=4.显然n<4的情况是平凡的。
首先，我们假设没有两个点的坐标相同。为了得到这一点，我们可以微小地抖动每个点，这不会改变答案。
关键在于：A)“曼哈顿距离”，B)回路的起点和终点是同一点。假设我们已知一个回路。回路的总长是|X2-X1|+|Y2-Y1|+|X3-Y2|+|Y3-Y2|...
为方便起见，让我们把X和Y坐标分开考虑。注意到每个点将在答案中出现两次，例如X2在|X2-X1|中和|X3-X2|中都出现了。曼哈顿距离意味着坐标值（例如X2）将会乘以+1或者-1，这取决于绝对值符号中另一个坐标和它的大小关系。此外，乘以+1的坐标值的数量必须等于乘以-1的坐标值的数量（因为在每个绝对值符号中，一个值乘以+1而另一个乘以-1）。这直接暗示了回路总长的上界。
如果我们列出所有点的X坐标，每个出现两次，然后将它们排序，那么如果我们将后一半乘以+1，前一半乘以-1，最后将它们加起来，就会得到最大值。注意到所有这些推导同样适用于Y坐标，而且将X和Y坐标的最大值加起来，我们就得到了回路总长度的上界。
如果能找到一条长度等于该上界的路径，我们的工作就结束了。在某些情况下，这是可能的。让我们解决它！
首先，如果我们得到了上述列表中X和Y坐标的中位数，我们就可以像下图一样分割整个平面：
A| B
|
---------
|
C| D
直线代表了X和Y坐标的中位数。
每条中位数直线上都有至多一个点（想想我们关于X和Y坐标均不相同的假设）。
让我们将A、B、C、C称作“区域”。下面，我们将把“区域A”简单地称作“A”（同样对B、C、D）。（译者注：区域不包含中位数直线，类似于笛卡尔坐标中的‘象限’）
为了得到上述值，到达B中的某一点后我们必须前往C中的某一点。同理：B->C,C->B,A->D,D->A。这里，点的配对是显然的，A和D配对，同样B和C配对。
首先，如果A+D为空或B+C为空，我们就一定能得到上述上界。我们可以简单地交替选择剩下两个配对区域中的点。因此我们假设A+D非空，B+C也非空。
首先，我们讨论B和C之间的关系（A和D同样符合这一关系）。（译者注：原文为‘A和B’，疑为作者笔误）
定理1：
|B-C|<=1.
证明：
首先，如果两条中位直线上都没有任何点，或者正中心处有一个点：
中位置线将区域分成两部分，两部分中点数相同，因此有：
a) A+B = C+D
b) A+C = B+D
a代入b：
(C+D-B)+C = B+D
2C=2B
B=C
结论成立。
接下来，假设中位直线上共有两个点，每条直线上一个：
让我们假设一个在中心点的上边，一个在中心点右边。其余情况均类似。
a) (A+B+1) = (C+D)
b) (A+C) = (B+D+1)
a代入b：
(C+D-B-1+C) = (B+D+1)
2C=2B+2
C=B+1
同理，也能推出A=D。
对其余三种情况进行类似推理得：
C=B且A=D+1
C=B-1且A=D
C=B且A=D-1
结论成立。
注意，点数较多的那个区域不和任何中位数点相邻（相邻指中位数点位于该区域的边界上）。
在上述论证中，我们得到上界（也就是，将X和Y坐标分别排序，并将前一半乘以-1，后一半乘以+1），并试图找出一个尽可能和上界接近的解。
接下来将是其他的分析。
定理2：
如果中位数直线上有两个点（每条直线上各有一个），那么上界可以达到。
证明：
我们将用“一对区域”称呼A和D，或者B和C。根据定理1证明的第二部分，将有一对区域包含不同数量的点。让我们取这一对，然后从二者中点数较多的那个区域开始。我们不断地在这两个区域中交替行走，直到在起始区域结束。然后，我们只需要前往任意一个中位数点。从那里，我们再前往另外一对区域中最远的那个。然后再在这两个区域内交替行走，最后去往另一个中位数点，然后回到最初的起点。容易看出，这将是最优的，而且能达到上界。
现在，我们来看中位数直线上没有任何点的情况。首先，这意味着点的数量是偶数。然后，这意味着我们的上界，即将X和Y列出并排序后分别乘以-1 -1 -1 ... -1 1 ... 1 1 1，是无法达到的（因为这意味着我们必须不断地在一对区域中交替行走，然而我们并无法在两对区域之间切换）。因此，我们必须修改至少一个系数。可能的最优方案由交换最中间的两个值得到，即：-1 -1 -1 ... -1 -1 1 -1 1 1 ... 1 1 1 .这就足够了。为什么？总点数是偶数，故现在有两个点被修改了。而且，此外，这两个点是距离中位数直线最近的（我们假设这些坐标是X坐标，即它们距离竖直的中位数直线最近），并且位于两个不同的区域。那么，我们将如下处理。首先从这两个点之一开始。在它所在的一对区域中交替行走，在另一边终止。如果另外一个点在这个区域，我们就前往该点，从而在那里结束，而且在此情况下，我们可以前往另外一对区域中的一个点，保持符合上述X坐标的系数列表（因为该点离中位数直线最近）。否则，该点将在另外一对区域中，我们只需要前往该点，然后显然我们仍然能符合X坐标的系数序列。在这一对区域中交替行走直到最后，回到起始点。可以看出，所有这些都符合上述的系数列。
这是最优的，因为若上界无法达到，这是第二大的上界。
现在，如果在两条中位数直线上共有一个点（即在正中心，也就是两直线的焦点），那么上界无法达到。可以发现，要想达到上界，我们必须从某区域内的一个点走向这一对区域中的另一个区域，或者去正中心的点。然而，由于两对区域都非空，我们就需要至少两次在它们之间切换。由于只有一个中心点，这是不可能的。
注意到这种情况意味着总的点数为奇数。因此，我们不能简单地交换最中间的两个点，因为最中间只有一个点。那么我们只能这样做：
-1 -1 ... -1 -1 1 1 -1 1 ... 1 1
或者
-1 -1 ... -1 1 -1 -1 1 1 ... 1 1
这就是说，交换中间点和相邻的一个点。按照和上面相同的推导，我们可以符合这个X坐标的系数列。
为了得到O(N)的期望复杂度，记住我们需要的操作只有：把元素分进区域，找出中位数。这二者都能在O(N)时间内完成（期望复杂度是因为虽然有一个最坏情况O(N)的选择算法，但它非常不优美）。
