[CF 294D]Shaass and Painter Robot解题报告

题意

有一个n*m的网格，有一个机器人初始在(x,y)，面朝某个斜45°的方向。机器人会一直走，遇到墙就按弹性碰撞规则（就像台球碰到桌子边缘一样）反弹。机器人每走一格，就会将其所在格子染黑。问机器人走几格之后会将整张网格染成黑白相间（或判断这种情况永远不会发生）。

分析

首先有一个结论：边缘上所有该染黑的格子都已染黑，当且仅当整张网格已按要求染成黑白相间。

证法是归纳。假设第一行该染黑的格子都已染黑，那就会发现第二行该染黑的格子都已染黑。因为第一行某个染黑格必定一进一出，即其左下和右下的两格都染黑了。当然也要考虑角上的情况，还有第一行该染黑的最后一个格子只进不出的情况（这时由于它两旁相间的格子都已染黑，所以左下和右下的两格必定也染黑）。故用数学归纳法可证。

那么问题就很简单了：开一个map，储存所有已访问过的边缘格子。然后模拟机器人的行走。将机器人的速度分解成水平和竖直两个分量，这个想法是很优美的。

对n,m的奇偶性讨论之后会发现，边缘上该染黑的格子永远有n+m-2个。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF=0x7fffffff/2;
map<int,int> A[100010];
int n,m,now,dx,dy,x,y;
char ch[10];
void work(void){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	scanf("%d%d",&x,&y);
	scanf("%s",ch+1);
	if(ch[1]=='U') dx=-1;
	else dx=1;
	if(ch[2]=='L') dy=-1;
	else dy=1;
	int rem=n+m-2;
	if(x==1||x==n||y==1||y==m){
		A[x][y]=1;
		rem--;
	}
	int timer=0;
	LL ans=1;
	while(true){
		timer++;
		if(timer>=500000){
			cout<<-1<<endl;
			return;
		}
		int dis=INF;
		if(dx==1) dis=min(dis,n-x);
		else dis=min(dis,x-1);
		if(dy==1) dis=min(dis,m-y);
		else dis=min(dis,y-1);
		x+=dx*dis,y+=dy*dis;
		ans+=dis;
		if(x==1) dx=1;
		else if(x==n) dx=-1;
		if(y==1) dy=1;
		else if(y==m) dy=-1;
		if(A[x][y]==0){
			rem--;
			A[x][y]=1;
		}
		if(!rem){
			cout<<ans<<endl;
			return;
		}
	}
}
int main(){
	work();
	return 0;
}