根据筛法规则对整数分类,建立树状结构
筛法目前一般用来找整数序列中的素数,不是素数的元素被丢掉了。如果仅把筛法当成一种分类规则,把筛掉的元素和留下的元素算作不同的分类,并用每一类中的最小元素递归地执行筛法,那么能把所有正整数保留下来,并建立一个树状结构。
例如,初始集合是正整数集,根据模最小元素p是否为0,可把所有元素分成两类,递归地执行下去,得到如下图像:
容易观察到的一些规律:
(1)左子链是素数集;假设结点
(2)从2开始的整个树是完全二叉树,结点
(3)树
以上是模最小元素p是否为0进行2分类生成的树,更进一步,假设集合的最小元素是
此树状结构里,素数的分布不再有规律,但仍然具有拓扑性质(3),
其他性质:每颗子树的所有结点都构成等差数列,公差
这类树的分形性质感觉跟欧拉乘积公式
另外,考拉兹猜想等一些问题也涉及把正整数集构造成一颗树,而原来的数轴相当于一根链,是树型拓扑中一种平凡的情况,不知道能否对所有的树型结构,建立一套通用的理论呢?
如果已有研究此问题的学科,不知道属于哪类,几何数论/代数拓扑/图论/组合数论?有知道的烦请告知一下。
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