根据筛法规则对整数分类，建立树状结构

筛法目前一般用来找整数序列中的素数，不是素数的元素被丢掉了。如果仅把筛法当成一种分类规则，把筛掉的元素和留下的元素算作不同的分类，并用每一类中的最小元素递归地执行筛法，那么能把所有正整数保留下来，并建立一个树状结构。
例如，初始集合是正整数集，根据模最小元素p是否为0，可把所有元素分成两类，递归地执行下去，得到如下图像：

容易观察到的一些规律：
（1）左子链是素数集；假设结点\(v\)的最大素因子是第i个素数\(p_i\)，则结点\(v\)的右子链是公比为\(p_i\)的等比数列；
（2）从2开始的整个树是完全二叉树，结点\(v\)的最大素因子是\(p_i\)时，\(v\)的左子结点是是\(\frac{p_{i+1}}{p_i}v\)，右子节点是\(vp_i\)，父节点是\(\frac{p_{i-1}}{p_i}v\);
(3)树\(v\)的右子树与树\(v\)同构，只是元素乘了个系数\(p_i\)；这说明此树具有简单的分形性质，一切基于左子链的素数集。本文所有结点\(v\)的右子树都是\(\mod v=0\)的元素那个分支。

以上是模最小元素p是否为0进行2分类生成的树，更进一步，假设集合的最小元素是\(p\)，所有数字根据模\(p\)的结果分成\(p\)个同余类，产生\(p\)个子树，生成的树状图如下：

此树状结构里，素数的分布不再有规律，但仍然具有拓扑性质(3)，\(v\)的右子树与\(v\)同构，数乘系数\(k\)不再是\(v\)的最大素因数，而是从根节点到当前节点的所有祖先节点乘积+1，例如\(2=1+1\)、\(3=1\times2+1\)、\(7=1\times2\times3+1\)、\(31=1\times2\times3\times5+1\)、\(43=1\times2\times3\times7+1\) 等，不全是素数，所有除右子节点外的兄弟结点的数乘系数相同。

其他性质：每颗子树的所有结点都构成等差数列，公差 \(k\) 是从根节点到当前节点的所有祖先节点乘积，这个等差数列是所有祖先节点向此转移的同余方程组的解（中国剩余定理）；除2、3以外的其他孪生素数对\((p,p+2)\)中的\(p\)都位于5的子树，原因很简单，\(p=5\pmod 3\)。

这类树的分形性质感觉跟欧拉乘积公式\(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}=\prod_p\frac{1}{1-p^{-s}}\)有点关系，反正都是筛法的思想；不知道此树状图是否有助于一些数论定理的直观表示，或者用来帮助解决哥德巴赫猜想等数论问题？例如第一幅图（模\(p\)二分类树）以结点3为根节点的子树元素是3开始的全部奇数，构成了等差数列，可以利用此树的拓扑性质尝试证明每个奇数都是两个素数的等差中项。

另外，考拉兹猜想等一些问题也涉及把正整数集构造成一颗树，而原来的数轴相当于一根链，是树型拓扑中一种平凡的情况，不知道能否对所有的树型结构，建立一套通用的理论呢？
如果已有研究此问题的学科，不知道属于哪类，几何数论/代数拓扑/图论/组合数论？有知道的烦请告知一下。