普里姆算法介绍
普里姆(Prim)算法，和克鲁斯卡尔算法一样，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
基本思想
对于图G而言，V是所有顶点的集合；现在，设置两个新的集合U和T，其中U用于存放G的最小生成树中的顶点，T存放G的最小生成树中的边。 从所有uЄU，vЄ(V-U) (V-U表示出去U的所有顶点)的边中选取权值最小的边(u, v)，将顶点v加入集合U中，将边(u, v)加入集合T中，如此不断重复，直到U=V为止，最小生成树构造完毕，这时集合T中包含了最小生成树中的所有边。
普里姆算法图解
以上图G4为例，来对普里姆进行演示(从第一个顶点A开始通过普里姆算法生成最小生成树)。
初始状态：V是所有顶点的集合，即V={A,B,C,D,E,F,G}；U和T都是空！
第1步：将顶点A加入到U中。
此时，U={A}。
第2步：将顶点B加入到U中。
上一步操作之后，U={A}, V-U={B,C,D,E,F,G}；因此，边(A,B)的权值最小。将顶点B添加到U中；此时，U={A,B}。
第3步：将顶点F加入到U中。
上一步操作之后，U={A,B}, V-U={C,D,E,F,G}；因此，边(B,F)的权值最小。将顶点F添加到U中；此时，U={A,B,F}。
第4步：将顶点E加入到U中。
上一步操作之后，U={A,B,F}, V-U={C,D,E,G}；因此，边(F,E)的权值最小。将顶点E添加到U中；此时，U={A,B,F,E}。
第5步：将顶点D加入到U中。
上一步操作之后，U={A,B,F,E}, V-U={C,D,G}；因此，边(E,D)的权值最小。将顶点D添加到U中；此时，U={A,B,F,E,D}。
第6步：将顶点C加入到U中。
上一步操作之后，U={A,B,F,E,D}, V-U={C,G}；因此，边(D,C)的权值最小。将顶点C添加到U中；此时，U={A,B,F,E,D,C}。
第7步：将顶点G加入到U中。
上一步操作之后，U={A,B,F,E,D,C}, V-U={G}；因此，边(E,G)的权值最小。将顶点G添加到U中；此时，U=V。
此时，最小生成树构造完成！它包括的顶点依次是：A B F E D C G。
普里姆算法的代码说明
以"邻接矩阵"为例对普里姆算法进行说明，对于"邻接表"实现的图在后面会给出相应的源码。
1. 基本定义
// 邻接矩阵 typedef struct _graph { char vexs[MAX]; // 顶点集合 int vexnum; // 顶点数 int edgnum; // 边数 int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵 }Graph, *PGraph; // 边的结构体 typedef struct _EdgeData { char start; // 边的起点 char end; // 边的终点 int weight; // 边的权重 }EData;
Graph是邻接矩阵对应的结构体。
vexs用于保存顶点，vexnum是顶点数，edgnum是边数；matrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，matrix[i][j]=1，则表示"顶点i(即vexs[i])"和"顶点j(即vexs[j])"是邻接点；matrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。
EData是邻接矩阵边对应的结构体。
2. 普里姆算法
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<malloc.h> #include<string.h> #define MAX 100 #define INF (~(0x1<<31)) typedef struct Graph { char vexs[MAX]; int vexnum; int edgnum; int matrix[MAX][MAX]; } Graph,*PGraph; typedef struct EdgeData { char start; char end; int weight; } EData; static int get_position(Graph g,char ch) { int i; for(i=0; i<g.vexnum; i++) if(g.vexs[i]==ch) return i; return -1; } Graph* create_graph() { char vexs[]= {'A','B','C','D','E','F','G'}; int matrix[][7]= { {0,12,INF,INF,INF,16,14}, {12,0,10,INF,INF,7,INF}, {INF,10,0,3,5,6,INF}, {INF,INF,3,0,4,INF,INF}, {INF,INF,5,4,0,INF,8}, {16,7,6,INF,2,0,9}, {14,INF,INF,INF,8,9,0} }; int vlen=sizeof(vexs)/sizeof(vexs[0]); int i,j; Graph *pG; if((pG=(Graph*)malloc(sizeof(Graph)))==NULL) return NULL; memset(pG,0,sizeof(pG)); pG->vexnum=vlen; for(i=0; i<pG->vexnum; i++) pG->vexs[i]=vexs[i]; for(i=0; i<pG->vexnum; i++) for(j=0; j<pG->vexnum; j++) pG->matrix[i][j]=matrix[i][j]; for(i=0; i<pG->vexnum; i++) { for(j=0; j<pG->vexnum; j++) { if(i!=j&&pG->matrix[i][j]!=INF) pG->edgnum++; } } pG->edgnum/=2; return pG; } void print_graph(Graph G) { int i,j; printf("Matrix Graph: \n"); for(i=0; i<G.vexnum; i++) { for(j=0; j<G.vexnum; j++) printf("%10d ",G.matrix[i][j]); printf("\n"); } } EData* get_edges(Graph G) { EData *edges; edges=(EData*)malloc(G.edgnum*sizeof(EData)); int i,j; int index=0; for(i=0; i<G.vexnum; i++) { for(j=i+1; j<G.vexnum; j++) { if(G.matrix[i][j]!=INF) { edges[index].start=G.vexs[i]; edges[index].end=G.vexs[j]; edges[index].weight=G.matrix[i][j]; index++; } } } return edges; } void prim(Graph G,int start) { int min,i,j,k,m,n,sum; int index=0; char prim[MAX]; int weight[MAX]; prim[index++]=G.vexs[start]; for(i=0; i<G.vexnum; i++) weight[i]=G.matrix[start][i]; weight[start]=0; for(i=0; i<G.vexnum; i++) { //i用来控制循环的次数，每次加入一个结点，但是因为start已经加入，所以当i为start是跳过 if(start==i) continue; j=0; k=0; min=INF; for(k=0; k<G.vexnum; k++) { if(weight[k]&&weight[k]<min) { min=weight[k]; j=k; } } sum+=min; prim[index++]=G.vexs[j]; weight[j]=0; for(k=0; k<G.vexnum; k++) { if(weight[k]&&G.matrix[j][k]<weight[k]) weight[k]=G.matrix[j][k]; } } // 计算最小生成树的权值 sum = 0; for (i = 1; i < index; i++) { min = INF; // 获取prims[i]在G中的位置 n = get_position(G, prim[i]); // 在vexs[0...i]中，找出到j的权值最小的顶点。 for (j = 0; j < i; j++) { m = get_position(G, prim[j]); if (G.matrix[m][n]<min) min = G.matrix[m][n]; } sum += min; } printf("PRIM(%c)=%d: ", G.vexs[start], sum); for (i = 0; i < index; i++) printf("%c ", prim[i]); printf("\n"); } int main() { Graph *pG; pG=create_graph(); print_graph(*pG); prim(*pG,0); }
运行结果：
