二叉堆
1. 什么是二叉堆？
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一句话概括：二叉堆就是一种满足堆的两个特性的一颗完全二叉树。也叫优先队列
那么是满足哪两个呢？
- 树是一颗完全二叉树。（除了最后一层可能不饱和，其他都饱和，且最后一层节点是从左往右排满）
- 父节点要小于等于或者大于等于子节点（根据堆的定义来确定是大于等于还是小于等于）
父节点比子节点大的称为最大堆：
2. 二叉堆操作
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下面是各种操作的时间复杂度和空间（树的高度为O(logN),基本操作与树的高度成正比）
| Binary Heap | ||
|---|---|---|
| Type | Tree | |
| Time complexity in big O notation | ||
| Average | Worst case | |
| Space | O(n) | O(n) |
| Search | Not supported | Not supported |
| Insert | O(1) | O(log n) |
| Delete | O(log n) | O(log n) |
2.1 插入操作
算法流程：
- 添加元素到树的最底层。
- 比较插入元素与其父节点的大小关系是否正确，如果正确，则完成。
- 如果不正确，则该元素与父节点交换位置，然后回到上一步。
向A中插入元素t的代码：
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void Insert(int A[], int n, int t) {
n++;
A[n] = t;
int p = n;
while(p >1 && A[PARENT(p)] < t){
A[p] = A[PARENT(p)];
p = PARENT(p);
}
A[p] = t;
return max;
}
2.2 删除操作
删除树根节点（最小堆得到最小数，最大堆得到最大数）
算法流程：
- 用最后一个元素填补删除的树根
- 新树根与他的两个孩子作比较；如果顺序正确，则完成。
- 不正确，则用孩子中的一个交换该元素，回到上一步。（最小堆中选择更小的孩子，最大堆中选择更大的数）
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实现的伪代码：
Comparison between a binary heap and an array implementation.
void GetMaximum(int A[], int n)
{
int max = A[1];
A[1] = A[n];
n--;
Max-Heapify(A, n, 1);
return max;
}
2.3 堆的创建
即将数组A转变为堆，这里我们可以借用前面提到的Max-Heapify(A,i)算法，但我们并不需要对每一个元素都这行Max-Heapify操作，只需要找到最后一个非叶子节点（即第n/2个元素）以及之前的数进行调整。
BUILD-MAX-HEAP(A)
1 heap-size[A] ← length[A]
2 for i ← ⌊length[A]/2⌋ downto 1
3 do MAX-HEAPIFY(A, i)
3. 二叉堆的实现
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堆常常用数组来实现，任何一棵二叉树度可以用数组存，但因为二叉堆是一棵完全二叉树，所以他可以紧密的存储，不需要指针来实现。相反，他的孩子节点和父节点可以用数学式来得到，如下：
对于根节点索引为0的树，i节点的孩子节点分别为2i+1和2i+2，父节点为(i-1)/2
A small complete binary tree stored in an array
题目：输入n个整数，输出其中最小的k个。
例如输入1，2，3，4，5，6，7和8这8个数字，则最小的4个数字为1，2，3和4。
分析：这道题之前我有写过一篇关于这道题的博客（查找最小的k个元素），当时我是用的红黑树的数据结构来解决这道题的，我们都知道找出最小的k个数，我们首先利用一个容器来存储k个元素，然后遍历所有数，如果k个元素中最大数大于此时遍历的数，那么只需要替换掉最大数。当时利用红黑树来存储k个元素.同时我们如果利用最大堆的方法，也同样可以达
