简单数论（四）-------概率与期望
简单数论（四）--------概率与期望
以前写的QwQ，要NOIP了，复习的时候觉得还是有必要写一下的，虽然我是个太菜了，可能只能去考普及组。
PartI 概率与期望基础
这个东西NOIP2016空降D1T3，所以有必要学诶.
概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。
在概率论和统计学中，数学期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。
解决概率问题一般有三种解法：
1，从个别例子推出通项式。 应用：少。
2，转化为递推式，动态规划解决。 应用：广（变式最多）。
3，列出方程组，解出所有未知量。 应用：中。
对于方法三要使用高斯消元，在简单数论（五）中介绍
高斯消元用于解n元1次方程组。 复杂度n^3. 如果数据大于1000就别想了。
有一条非常重要的性质：
期望具有可加性
PartII 性质
P(A)表示事件A发生的概率，E（A）表示事件A发生的期望，P(A|B)：在事件B发生的前提下，事件A发生的概率
P(AB)：事件A和B同时发生的概率，P(A|B)：在事件B发生的前提下，事件A发生的期望，，E(AB)：事件A和B同时发生的期望
1.若A，B互不影响，则
E（A+B）=E（A）+E（B）
E（AB）=E（A）E（B）
E（A|B）=E（A）/E(B)
2.贝叶斯公式
P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)
3.全概率公式
$P(A)=\sum_{i}P(A|B=b_i)P(B=b_i)$
4.全期望公式
$E(A)=\sum_{i}E(A|B=b_i)P(B=b_i)$
PartIII 期望概率与动态规划
此类题目很多，变化大，这里举出一个例子
有m次抽奖机会，n种数量无限的球，求每种球都至少抽中一次之概率。 m,n<=5000.
若dp[i][j]表示i次抽中j种概率。
可以有
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]*(n-j+1/n)+dp[i-1][j]*(j/n)
在做概率与期望的题目时，要记住：
1.全期望公式，全概率公式
2.期望的可加性（非常重要）
有时能推出通项公式
