[简单递推]K 上升

K 上升

题目

对于n的一个全排列，如果它可以划分成k个单调递增序列，每个序列都尽可能最长，则称其为k上升段。例如：排列1 2 4 5 6 3 9 10 7 8是一个合法的3上升段，它可以划分成1 2 4 5 6;3 9 10;7 8这三个单调递增序列。对每个给定的(n,k)，请你给出n的所有k上升段的个数。

题解

首先最容易想到的思路显然是把每次的状态

 

对于排列类的DP，由于他们无关具体的状态

 

对于一个全排列i，假设划分成了j段。

 

那么如果在每一段的末尾加一个数，那么就可以变成i+1个数的划分成为j段。

 

还有，如果在每一个头，或者非段末加入，那么就可以变成i+1个全排列划分成了j+1段

 

对于每一个位置，都可以是一种方案，那么这就是加法原理和乘法原理

 

设dp(i,j)表示对于第i个数，划分成j段的方案数

 

dp(i,j)=dp(i-1,j)*j+dp(i-1,j-1)*(i-j+1)