「算法学习」并查集以及它的一些扩展
并查集
简介
并查集是一种树形的数据结构，它支持两种操作：
- 查找（find）：查询某个元素属于哪个集合；
- 合并（merge）：将两个集合合并成同一个集合。
查找
我们令 find 函数表示寻找 \(x\) 的祖先。如果 \(x\) 已经是祖先，则返回；否则递归到 \(f[x]\) 的子问题。
int find(int x) {
return f[x] == x ? x : find(f[x]);
}
但是它在最坏情况下（如一条链）是单次 \(O(n)\) 的。考虑把在路径上的每个节点都直接连接到祖先上，我们称之为路径压缩。
int find(int x) {
return f[x] == x ? x : f[x] = find(f[x]);
}
合并
我们令 merge 函数表示合并 \(x,y\) 所在的集合。显然可以把 \(x\) 所在集合的祖先与 \(y\) 所在的集合的祖先相连，达到该目的。
void merge(int x, int y) {
f[find(x)] = find(y);
}
这样合并显得很无脑，我们考虑衡量一个集合的指标：大小和深度。以大小为例，我们将小的往大的合并，那么感性理解 find 函数递归的次数会相对少一些，我们称之为启发式合并。
void merge(int x, int y) {
x = find(x), y = find(y);
if (x == y) return;
if (sz[x] > sz[y]) swap(x, y);
f[x] = y, sz[y] += sz[x];
}
时间复杂度
我们定义 \(Ack(n,m)\) 表示阿克曼函数，\(\alpha(n)\) 表示反阿克曼函数。容易发现 \(\alpha(n)\) 的增长速度极其缓慢，在 OI 中一般默认它 \(\le 4\)，可视为常数。
| 路径压缩 | 启发式合并 | 期望复杂度 | 最坏复杂度 |
|---|---|---|---|
| 无 | 无 | 单次 \(O(\log n)\) | 单次 \(O(n)\) |
| 无 | 有 | 单次 \(O(\log n)\) | 单次 \(O(\log n)\) |
| 有 | 无 | 均摊 \(O(m\alpha(m,n))^{[1]}\) | 均摊 \(O(m\log n)^{[2]}\) |
| 有 | 有 | 单次 \(O(\log n)\)，均摊 \(O(m\alpha(m,n))\) | 单次 \(O(\log n)\)，均摊 \(O(m\alpha(m,n))\) |
例题
- 洛谷 P3367 【模板】并查集；
- UOJ 127 「NOI 2015」程序自动分析；
- UVA 11987 Almost Union-Find
传统的并查集不能进行操作 2 的原因是 \(p\) 有可能是某些点的父亲，如果直接将 \(p\) 接到 \(q\) 的祖先上，会导致把 \(p\) 的整棵子树给接过去。
这启发我们规避掉 \(p\) 成为某些点父亲的情形，因此考虑对于每个点 \(i\) 建立虚点 \(i'\)，初始 \(i\) 指向 \(i'\)。那么在任意时刻，只有 \(i'\) 可能是父亲，这样直接把 \(i\) 接到 \(q\) 就没问题了。
带权并查集
我们可以在并查集的边上定义某种权值，每个点存的是它到它当前指向的祖先间的权值信息。在路径压缩时，将路径上的点的权值信息依次修改过去即可。
例题
可持久化并查集
要支持查询历史版本，用主席树维护即可。
例题
可撤销并查集（栈）
此时我们不能再路径压缩了，否则撤销会出大问题。因此只采用启发式合并，复杂度单次 \(O(\log n)\)。
如果我们把加边、删边看成一个进栈、弹栈的过程的话，那么我们每次撤销只能弹栈顶的边（即最近一次加入的边）。
可撤销并查集（双指针）
在做传统双指针问题的时候，我们遇到过“双栈结构”的 trick。
它的想法是开两个栈，一个倒的栈，一个正的栈。删头可以直接弹“倒栈”的头，加尾可以直接塞“正栈”的头。遇到“倒栈”为空时，把“正栈”全部弹进“倒栈”，自己变空。
容易发现一个元素只会依次在两个栈中出现，对复杂度的贡献是 \(O(1)\)，所以总时间复杂度是 \(O(n)\) 的。
这引发我们的思考：为何传统问题能这样做，而可撤销并查集就不行呢？仔细思考，便会发现它有一大硬伤：它自身有一个加边的栈顺序。在它的眼里，它是将我们的两个栈归并在了一起看的，而每次只能撤销最新一次加入的边，那我们的两个栈就不方便撤销了。
因此，我们被迫顺着可撤销并查集来设计算法，我们用一个 stack 记录两个栈按照加边顺序归并在一起的结果，其中 stack 内每个元素都是三元组 (rev, u, v)，rev 用来表示它是哪个栈的，\(u,v\) 则表示这条边的两端点。
考虑下面这样一个流程：
- 删元素：我们从
stack的头开始一直删，直到取出的两个栈的元素个数相等。
