「算法学习」并查集以及它的一些扩展

并查集

简介

并查集是一种树形的数据结构，它支持两种操作：

• 查找（find）：查询某个元素属于哪个集合；
• 合并（merge）：将两个集合合并成同一个集合。

查找

我们令 find 函数表示寻找 $x$ 的祖先。如果 $x$ 已经是祖先，则返回；否则递归到 $f[x]$ 的子问题。

int find(int x) {
    return f[x] == x ? x : find(f[x]);
}

但是它在最坏情况下（如一条链）是单次 $O(n)$ 的。考虑把在路径上的每个节点都直接连接到祖先上，我们称之为路径压缩。

int find(int x) {
    return f[x] == x ? x : f[x] = find(f[x]);
}

合并

我们令 merge 函数表示合并 $x,y$ 所在的集合。显然可以把 $x$ 所在集合的祖先与 $y$ 所在的集合的祖先相连，达到该目的。

void merge(int x, int y) {
    f[find(x)] = find(y);
}

这样合并显得很无脑，我们考虑衡量一个集合的指标：大小和深度。以大小为例，我们将小的往大的合并，那么感性理解 find 函数递归的次数会相对少一些，我们称之为启发式合并。

void merge(int x, int y) {
    x = find(x), y = find(y);
    if (x == y) return;
    if (sz[x] > sz[y]) swap(x, y);
    f[x] = y, sz[y] += sz[x];
}

时间复杂度

我们定义 $Ack(n,m)$ 表示阿克曼函数，$\alpha(n)$ 表示反阿克曼函数。容易发现 $\alpha(n)$ 的增长速度极其缓慢，在 OI 中一般默认它 $\le 4$，可视为常数。

路径压缩	启发式合并	期望复杂度	最坏复杂度
无	无	单次 $O(\log n)$	单次 $O(n)$
无	有	单次 $O(\log n)$	单次 $O(\log n)$
有	无	均摊 $O(m\alpha(m,n))^{[1]}$	均摊 $O(m\log n)^{[2]}$
有	有	单次 $O(\log n)$，均摊 $O(m\alpha(m,n))$	单次 $O(\log n)$，均摊 $O(m\alpha(m,n))$

例题

• 洛谷 P3367 【模板】并查集；
• UOJ 127 「NOI 2015」程序自动分析；
• UVA 11987 Almost Union-Find
  传统的并查集不能进行操作 2 的原因是 $p$ 有可能是某些点的父亲，如果直接将 $p$ 接到 $q$ 的祖先上，会导致把 $p$ 的整棵子树给接过去。
  这启发我们规避掉 $p$ 成为某些点父亲的情形，因此考虑对于每个点 $i$ 建立虚点 $i'$，初始 $i$ 指向 $i'$。那么在任意时刻，只有 $i'$ 可能是父亲，这样直接把 $i$ 接到 $q$ 就没问题了。

带权并查集

我们可以在并查集的边上定义某种权值，每个点存的是它到它当前指向的祖先间的权值信息。在路径压缩时，将路径上的点的权值信息依次修改过去即可。

例题

• 洛谷 P2024 「NOI 2001」食物链；
• 洛谷 P1196 「NOI 2002」银河英雄传说；

可持久化并查集

要支持查询历史版本，用主席树维护即可。

例题

• 洛谷 P3402 可持久化并查集；

可撤销并查集（栈）

此时我们不能再路径压缩了，否则撤销会出大问题。因此只采用启发式合并，复杂度单次 $O(\log n)$。

如果我们把加边、删边看成一个进栈、弹栈的过程的话，那么我们每次撤销只能弹栈顶的边（即最近一次加入的边）。

可撤销并查集（双指针）

在做传统双指针问题的时候，我们遇到过“双栈结构”的 trick。

它的想法是开两个栈，一个倒的栈，一个正的栈。删头可以直接弹“倒栈”的头，加尾可以直接塞“正栈”的头。遇到“倒栈”为空时，把“正栈”全部弹进“倒栈”，自己变空。

容易发现一个元素只会依次在两个栈中出现，对复杂度的贡献是 $O(1)$，所以总时间复杂度是 $O(n)$ 的。

这引发我们的思考：为何传统问题能这样做，而可撤销并查集就不行呢？仔细思考，便会发现它有一大硬伤：它自身有一个加边的栈顺序。在它的眼里，它是将我们的两个栈归并在了一起看的，而每次只能撤销最新一次加入的边，那我们的两个栈就不方便撤销了。

因此，我们被迫顺着可撤销并查集来设计算法，我们用一个 stack 记录两个栈按照加边顺序归并在一起的结果，其中 stack 内每个元素都是三元组 (rev, u, v)，rev 用来表示它是哪个栈的，$u,v$ 则表示这条边的两端点。

考虑下面这样一个流程：

• 删元素：我们从 stack 的头开始一直删，直到取出的两个栈的元素个数相等。

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参考文献

• $[1]$：Tarjan, R. E., & Van Leeuwen, J. (1984). Worst-case analysis of set union algorithms. Journal of the ACM (JACM), 31(2), 245-281；
• $[2]$：Yao, A. C. (1985). On the expected performance of path compression algorithms；