「论文研究」三角梯结构——从一道 CTSC 的题的加强版谈起

先放一道加强题，以引出这篇论文。

这是一道交互题。

有一个小球集合，初始为空。每个小球有颜色，定义主要颜色为在当前小球集合中严格超过一半的颜色。你需要实现如下两个操作：

• push：加入一个小球，编号为上一个小球的编号 $+1$，注意你不知道它的颜色；
• pop x：删除编号为 $x$ 的小球；

在每次操作后，你都要输出 answer *：若存在主要颜色，返回任意一个在当前集合中的该颜色小球的编号；否则返回 -1。你不必实时输出答案，只要最后能依次输出这 $q$ 个值即可。

你可以通过 test x y 询问交互库编号为 $x$ 和 $y$ 的小球颜色是否相等。

评分方式

我们记第 $i$ 次 push 操作后询问次数为 $C1_i$，第 $i$ 次 pop x 操作后询问次数为 $C2_i$，以及 $f$ 表示是否实时输出答案（$=1$ 为是，$=0$ 为否）。

#	$q$	$C1_i$	$C2_i$	$\sum C1_i$	$\sum C2_i$	$f$	特殊性质	分值
subtask 1	$\le 1000$	$\le q$	$\le q$	/	/	/	/	5
subtask 2	$\le 10^5$	$\le 20$	$\le 20$	/	/	$=1$	数据随机	5
subtask 3	$\le 10^5$	/	/	$\le 4\times 10^6$	$\le 4\times 10^6$	/	/	10
subtask 4	$\le 5\times 10^4$	$\le 300$	$\le 300$	/	/	$=1$	/	10
subtask 5	$\le 10^5$	$\le 10$	$\le 10$	/	/	$=1$	/	20
subtask 6	$\le 10^5$	$\le 3$	$\le 4$	/	/	$=1$	/	20
subtask 7	$\le 10^5$	$\le 2$	$\le 2$	/	/	$=1$	/	30

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出题契机

本题灵感来源于「CTSC 2004」Stone Age，我在论文文献中翻阅到了此篇论文，并据此出了这样一道题。

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题解

subtask 1

每次暴力问出加入的球的颜色即可。

操作次数 $C1_i\le q$，$C2_i=0$。

subtask 2

数据随机的情况下，若小球集合 $> C$（$C$ 为一个常数），则基本不存在主要颜色。在 $\le C$ 时可以通过扫一遍问出主要颜色。

操作次数 $C1_i=C-1$，$C2_i=C-1$。

subtask 3

可以离线，求出每个小球所在的时间区间，下放至线段树的 $2\times \log q$ 个区间中。

考虑线段树分治，在每根线段时以「打擂台」的形式计算主要颜色即可。

操作次数 $\sum C1_i=2q\log q$。

subtask 4

留给奇怪的根号分治做法以及一些写萎了的做法。

subtask 5, 6, 7

我们设计一种数据结构，称之为“三角梯”。

三角梯，顾名思义，将点排成两排，以三角形的形状阶梯分布。

在这个三角梯中，相邻两点间的颜色关系是需要通过询问得到的。用细线表示不同色；用粗线表示同色；用虚线表示已经知道关系，但是为了之后方便描述插入、删除操作，我们暂时不关心它们具体啥关系；用虚线带“？”表示需要立刻询问它们的关系。

在操作的过程中，我们维护的“三角梯”始终会满足如下性质：

• 不在同一排的相邻点，必须不同色（细线）；
• 两排最左边的两个点相邻，不妨假设第二排最左边的点在第一行最左边的点的左下方；
• 第二排的点个数不少于第一排的点个数；
• 当没有主要颜色时，两排的点数差 $\le 1$；当有主要颜色时，两排的点数允许 $>1$，并且第二排的所有点均为该主要颜色。

我们称同一排内极长同色段为一块（block）。由此可见，对于计算答案而言，我们只需判断第二排是否点数大于第一排，且仅有一块即可，时间复杂度 $\mathcal O(1)$。

插入

假设要插入的点为 $Z$。

• 若当前有主要颜色

记 $A$ 为主要颜色块的最后一个点，我们根据 $A$ 与 $Z$ 的颜色关系分类即可。

• 若当前没有主要颜色

我们同样可以分类讨论。注意 $A$ 和 $Z$ 同色时，要根据 $U$ 和 $V$ 是否同色分类的原因是论文用了链表去维护块，如果从中间某个位置把一个块断开，链表无法快速维护每个点所在块的信息（每个点需要记录块首和块尾是谁）。

容易发现一次插入，最多导致 $3$ 次询问花销。

如果我们采用平衡树去维护块（每个块本质上可以看成一个序列），那么只需要 $2$ 次询问。

删除

删除基于插入。我们同样进行分类讨论。最多导致 $4$ 次询问花销（$1+3$）。

如果采用平衡树去维护，容易优化到 $2$ 次询问。

整合

如果采用链表去维护，可以做到 $C1_i\le 3$，$C2_i\le 4$，时间复杂度 $\mathcal O(q)$；

如果采用平衡树去维护，可以做到 $C1_i\le 2$，$C2_i\le 2$，时间复杂度 $\mathcal O(q\log q)$；

可以获得满分。

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参考文献

• Gudmund Skovbjerg Frandsen Sven Skyum, Dynamic Maintenance of Majority Information in Constant Time per Update；
• 胡伟栋，石器时代 解题报告；
• 鬲融，CTSC 2004 石器时代 解题报告。