「多项式」烷基计数、烯烃计数、烷烃计数

烷基计数

题目链接：LOJ 6538 烷基计数 2×加强版。

对于 $n=1\sim N$，求 $n$ 个碳原子的烷基的同分异构体数，不考虑空间异构。

$1\le N\le 10^5$。

题解

根据有机化学知识，我们要求的就是有多少个 $n$ 个点的无标号有根树，满足根的度数 $\le 3$，其余点度数 $\le 4$。

令 $F(x)$ 表示答案（其中 $f_0=1$，表示空），问题在于直接 $F(x)=xF^3(x)$ 会把同构的树多次计数。考虑利用 burnside 引理，设根的三个子树分别为 $T_1,T_2,T_3$，有 $3!=6$ 种置换群，因此可得：

$$F(x)=x\frac{F^3(x)+3F(x)F(x^2)+2F(x^3)}{6}$$

用牛顿迭代求解即可，时间复杂度 $\mathcal O(n\log n)$。

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烯烃计数

题目链接：洛谷 P6597 烯烃计数。

对于 $n=1\sim N$，求 $n$ 个碳原子的烯烃的同分异构体数，不考虑空间异构。

$1\le N\le 10^5$。

题解

考虑碳碳双键的这条“关建边”，相当于这条边左右两边分别做“烷基计数”，然后再合并起来。

因此，合并的部分再用一次 burnside 引理。令 $G(x)$ 表示答案，则：

$$G(x)=\frac{(F(x)-1)^2+F(x^2)-1}{2}$$

时间复杂度 $\mathcal O(n\log n)$。

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烷烃计数

题目链接：洛谷 P6598 烷烃计数，LOJ 6512 「雅礼集训 2018 Day 8」C。

对于 $n=1\sim N$，求 $n$ 个碳原子的烷烃的同分异构体数，不考虑空间异构。

$1\le N\le 10^5$。

题解

根据有机化学知识，我们要求的就是有多少个 $n$ 个点的无标号无根树，满足每个点度数 $\le 4$。

考虑拎起树的重心为根（在 $n$ 为偶数时，可能无根树有两个重心，会算 $2$ 次），用容斥的方法计算：总方案减去存在一个子树 $\mathrm{size}> \frac{n}{2}$。令前者为 $G(x)$，则用 burnside 引理可得：

$$G(x)=x\frac{F^4(x)+6F^2(x)F(x^2)+8F(x)F(x^3)+3F^2(x^2)+6F(x^4)}{24}$$

令答案为 $H(x)$，枚举这个“大子树”的 $\mathrm{size}$，则 $h_n=g_n-\sum\limits_{i=\frac{n}{2}+1}^{n-1}f_if_{n-i}-[2|n]\binom{f_{n/2}}{2}$。

容易卷积优化计算 $H(x)$，时间复杂度 $\mathcal O(n\log n)$。