「ABC 249Ex」Dye Color

考虑停时定理。

初始势能为 $\sum \Phi(cnt_i)$，末势能为 $\Phi(n)$，我们希望构造这样一个 $\Phi:Z\to Z$ 函数，使得每一次操作期望势能变化量为常数。

考虑一次变化：

$$\Phi(cnt)+1=\sum_{j=0}^{cnt} \frac{\binom{cnt}{j}}{2^j}\sum_{k=0}^{n-cnt}\frac{\binom{n-cnt}{k}}{2^k}\left(\frac{j+k}{n}\Phi(cnt-j+1)+(1-\frac{j+k}{n})\Phi(cnt-j)\right)$$

我们钦定 $\Phi(0)=0$，那么容易通过 $\Phi(i)$ 递推得到 $\Phi(i+1)$。

时间复杂度 $\mathcal O(n^2)$。

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后记：场切，号无。