「ABC 249Ex」Dye Color

考虑停时定理。

初始势能为 \(\sum \Phi(cnt_i)\)，末势能为 \(\Phi(n)\)，我们希望构造这样一个 \(\Phi:Z\to Z\) 函数，使得每一次操作期望势能变化量为常数。

考虑一次变化：

\[\Phi(cnt)+1=\sum_{j=0}^{cnt} \frac{\binom{cnt}{j}}{2^j}\sum_{k=0}^{n-cnt}\frac{\binom{n-cnt}{k}}{2^k}\left(\frac{j+k}{n}\Phi(cnt-j+1)+(1-\frac{j+k}{n})\Phi(cnt-j)\right) \]

我们钦定 \(\Phi(0)=0\)，那么容易通过 \(\Phi(i)\) 递推得到 \(\Phi(i+1)\)。

时间复杂度 \(\mathcal O(n^2)\)。

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后记：场切，号无。