ZJOI2020

[ZJOI2015] 地震后的幻想乡

给定一个无向图 \(G\) ，\(n\) 个点 \(m\) 条边每条边权为 \([0,1]\) 的随机实数，求这张图的最小生成树的最大边权期望。

\(1\le n\le 10,1\le m\le \frac{n(n-1)}{2}\) 。

Solution

引理 \(1\) ：

\(n\) 个 \([0,1]\) 随机变量 $x_1,\cdots,x_n $ ，第 \(k\) 小的期望值是 \(\frac{k}{n+1}\)
证明：枚举第 \(k\) 小值为 \(x\) ：\(\binom{n}{k}\int_0^1x \cdot x^{k-1}\cdot (1-x)^{n-k} dx=\frac{k}{n+1}\) 。

暴力枚举 \(m\) 条边的相对大小关系，套引理即可做到 \(\mathcal O(m!poly(n))\) 。

考虑状压 dp ，定义 \(f_{S,i},g_{S,i}\) 表示点集 \(S\) ，用了 \(i\) 条边，且点集不连通/连通的方案数，\(d_{S}\) 表示点集 \(S\) 导出子图的边数。

考虑 \(f\) 的转移，我们枚举一个连通块（不妨是 \(lowbit(S)\) 所属的那个块），其他的点之间任意连边，则： \(f_{S,i}=\sum\limits_{lowbit(S) \in T\subset S}\sum\limits_{j=0}^{|d_T|}g_{T,j}\binom{|d_{S-T}|}{i-j}\)

注意到 加了 i 条边恰好连通概率 = 加之前不连通概率 - 加之后不连通概率 ，因此答案为：

\[\sum_{k=1}^{m}\frac{k}{m+1}\cdot \left(\frac{f_{U,k-1}}{\binom{|d_U|}{k-1}}-\frac{f_{U,k}}{\binom{|d_{U}|}{k}}\right)\\\begin{aligned}=\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m}\frac{f_{U,k}}{\binom{|d_{U}|}{k}}\end{aligned} \]

时间复杂度 \(\mathcal O(3^nm)\) 。

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Day1

T1

给定一个由字符 \(\text{'a', 'b'}\) 构成的字符串 \(str\) 。
一个串为好串的定义是：串长为偶数，且左右两半相等。比如说 \(abcdeabcde\) 就是好串。
有 \(q\) 次询问，询问区间 \([l,r]\) 内有多少个本质不同的好串（也就是一模一样的好串只算 \(1\) 次）。
\(1\le n,q\le 2\times 10^5\)

T2

给定一颗广义线段树，读入按中序遍历的方式告诉你每根线段 \([l,r]\) 的 \(mid\) 值。
你需要执行 \(k\) 次 选区间 操作，每次等概率选择一个区间 \([ql, qr]\) 满足 \(1\le ql\le qr\le n\) ，并且相应在线段树上打懒标记。
对于每个区间 \([ql, qr]\)，执行 \(\text{modify(1, 1, n, ql, qr)}\) ：

void pushdown(int u) {
  if (tag[u]) {
    tag[lson[u]] = 1;
    tag[rson[u]] = 1;
    tag[u] = 0;
  }
}
void modify(int u, int l, int r, int ql, int qr) {
  if ([l, r] ∩ [ql, qr] = 空集) return ;
  if (ql <= l && r <= qr) {
    tag[u] = 1;
    return ;
  }
  int mid = 读入的 mid 值;
  pushdown(u);
  if (ql <= mid) modify(lson[u], l, mid, ql, qr);
  if (qr > mid) modify(rson[u], mid + 1, r, ql, qr); 
}

请求出期望下线段树中 \(tag\) 值为 \(1\) 的线段的个数。
\(n\) 在 \(10^5\) 级别， \(1\le k\le 10^9\) 。

T3

给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a_1,a_2,...,a_n\)，你可以执行以下三种操作：

• 选择一个区间 \([l,r]\) ，让区间内的数全减 \(1\)
• 选择一个区间 \([l,r]\) ，让区间内下标是奇数的数全减 \(1\)
• 选择一个区间 \([l,r]\) ，让区间内下标是偶数的数全减 \(1\)

你需要最小化你的操作次数，使得所有数变成 \(0\) 。

Day2

T1

\(Alice\) 和 \(Bob\) 在 树/基环树 上的游戏。。。
题面有点长，咕咕

T2

给定 \(n\) 个数 \(a_1,a_2,...,a_n\) ，每次等概率选择一个数（选过的数下次可能还会被选）。
问期望下取多少次数，才能出现 \(k\) 个连续的数（也就是满足 \(a_{i_1},a_{i_2},a_{i_3},...\) 依次 \(+1\)）？
\(1\le n\le 2\times 10^5, 1\le a_i\le 10^9\)（好像）

T3

给定 \(n\) 个方程组，参数 \(a_i,c_i\)。

\[\begin{cases}a_1 \times x + p_1 \equiv c_1 (mod\ p) \\ a_2 \times x + p_2 \equiv c_2 (mod\ p) \\ ... \\ a_n\times x + p_n \equiv c_n (mod\ p) \end{cases} \]

给出一个扰动 \(err\) ，每个 \(p_i\) 均为 \([\lceil - \frac{err}{2} \rceil, \lceil \frac{err}{2} \rceil]\) 内随机的一个数。
你需要找到一个 \(x\) ，使得它满足上述所有条件。
数据保证有且仅有一个 \(x\) 满足条件。
\(n=2000, 1\le a_i,c_i,p\le 10^{18}\)
如果要用 \(\text{__int128}\) ，请手写。