ZJOI2020
[ZJOI2015] 地震后的幻想乡
给定一个无向图 \(G\) ,\(n\) 个点 \(m\) 条边每条边权为 \([0,1]\) 的随机实数,求这张图的最小生成树的最大边权期望。
\(1\le n\le 10,1\le m\le \frac{n(n-1)}{2}\) 。
Solution
引理 \(1\) :
\(n\) 个 \([0,1]\) 随机变量 $x_1,\cdots,x_n $ ,第 \(k\) 小的期望值是 \(\frac{k}{n+1}\)
证明:枚举第 \(k\) 小值为 \(x\) :\(\binom{n}{k}\int_0^1x \cdot x^{k-1}\cdot (1-x)^{n-k} dx=\frac{k}{n+1}\) 。
暴力枚举 \(m\) 条边的相对大小关系,套引理即可做到 \(\mathcal O(m!poly(n))\) 。
考虑状压 dp ,定义 \(f_{S,i},g_{S,i}\) 表示点集 \(S\) ,用了 \(i\) 条边,且点集不连通/连通的方案数,\(d_{S}\) 表示点集 \(S\) 导出子图的边数。
考虑 \(f\) 的转移,我们枚举一个连通块(不妨是 \(lowbit(S)\) 所属的那个块),其他的点之间任意连边,则: \(f_{S,i}=\sum\limits_{lowbit(S) \in T\subset S}\sum\limits_{j=0}^{|d_T|}g_{T,j}\binom{|d_{S-T}|}{i-j}\)
注意到 加了 i 条边恰好连通概率 = 加之前不连通概率 - 加之后不连通概率
,因此答案为:
时间复杂度 \(\mathcal O(3^nm)\) 。
Day1
T1
给定一个由字符 \(\text{'a', 'b'}\) 构成的字符串 \(str\) 。
一个串为好串的定义是:串长为偶数,且左右两半相等。比如说 \(abcdeabcde\) 就是好串。
有 \(q\) 次询问,询问区间 \([l,r]\) 内有多少个本质不同的好串(也就是一模一样的好串只算 \(1\) 次)。
\(1\le n,q\le 2\times 10^5\)
T2
给定一颗广义线段树,读入按中序遍历的方式告诉你每根线段 \([l,r]\) 的 \(mid\) 值。
你需要执行 \(k\) 次 选区间 操作,每次等概率选择一个区间 \([ql, qr]\) 满足 \(1\le ql\le qr\le n\) ,并且相应在线段树上打懒标记。
对于每个区间 \([ql, qr]\),执行 \(\text{modify(1, 1, n, ql, qr)}\) :
void pushdown(int u) {
if (tag[u]) {
tag[lson[u]] = 1;
tag[rson[u]] = 1;
tag[u] = 0;
}
}
void modify(int u, int l, int r, int ql, int qr) {
if ([l, r] ∩ [ql, qr] = 空集) return ;
if (ql <= l && r <= qr) {
tag[u] = 1;
return ;
}
int mid = 读入的 mid 值;
pushdown(u);
if (ql <= mid) modify(lson[u], l, mid, ql, qr);
if (qr > mid) modify(rson[u], mid + 1, r, ql, qr);
}
请求出期望下线段树中 \(tag\) 值为 \(1\) 的线段的个数。
\(n\) 在 \(10^5\) 级别, \(1\le k\le 10^9\) 。
T3
给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a_1,a_2,...,a_n\),你可以执行以下三种操作:
- 选择一个区间 \([l,r]\) ,让区间内的数全减 \(1\)
- 选择一个区间 \([l,r]\) ,让区间内下标是奇数的数全减 \(1\)
- 选择一个区间 \([l,r]\) ,让区间内下标是偶数的数全减 \(1\)
你需要最小化你的操作次数,使得所有数变成 \(0\) 。
Day2
T1
\(Alice\) 和 \(Bob\) 在 树/基环树 上的游戏。。。
题面有点长,咕咕
T2
给定 \(n\) 个数 \(a_1,a_2,...,a_n\) ,每次等概率选择一个数(选过的数下次可能还会被选)。
问期望下取多少次数,才能出现 \(k\) 个连续的数(也就是满足 \(a_{i_1},a_{i_2},a_{i_3},...\) 依次 \(+1\))?
\(1\le n\le 2\times 10^5, 1\le a_i\le 10^9\)(好像)
T3
给定 \(n\) 个方程组,参数 \(a_i,c_i\)。
给出一个扰动 \(err\) ,每个 \(p_i\) 均为 \([\lceil - \frac{err}{2} \rceil, \lceil \frac{err}{2} \rceil]\) 内随机的一个数。
你需要找到一个 \(x\) ,使得它满足上述所有条件。
数据保证有且仅有一个 \(x\) 满足条件。
\(n=2000, 1\le a_i,c_i,p\le 10^{18}\)
如果要用 \(\text{__int128}\) ,请手写。