Good Subarrays

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题目大意

给定一个序列，让你尝试求出序列中，存在多少子数组的区间和等于子数组的长度

即 \(\sum_{i = l}^r ai = r - l + 1\)

分析

对于这个问题，如果我们采用暴力做法的话时间复杂度在\(O(n^2)\) ,是一定会超时的。那么我们尝试对问题的公式做一下等价变形。

\(\begin{equation} \begin{aligned} \sum_{i = l}^r ai &= r - l + 1\\ \sum_{i = l}^r(ai - 1)&= (r - l + 1) - (r - l + 1) \\ \sum_{i = l}^r(ai - 1)&=0 \end{aligned} \end{equation}\)

我们让两边都减去区间长度发现左边变成了区间[l , r] 中元素值 - 1 的区间和

我们需要求出来这样的前缀和区间中有多少个等于0的即可。

此时我们可以借助前缀和思想来简化这个问题

对于样例 ： 1 1 0 1 1

	1	2	3	4	5
原数组 a	1	1	0	1	1
原数组位置-1 :b	0	0	-1	0	0
数组b的前缀和	0	0	-1	-1	-1

注意事项

• 我们发现对于位置 i ，如果当前位置前缀和等于0说明其自身可以构成一个区间那么更新答案ans = ans + 1

• 如果当前元素的值已经出现过那么当前位置 i 且前缀和为 s 那么其一定可以和其在 i 前面的等于当前元素的区间且和为 s 重新进行区间组合变成新的区间，故此时 ans += 原来区间的个数，且当前区间值等于 s 的区间个数++

总结

• 出现子数组这类问题，大部分都可以优先想到使用前缀和进行辅助处理，因为子数组是数组中的一个部分，该段的和其实就可以利用前缀和进行求解。并且迁回和更新具有线性递增当前和只由前面的元素所决定。

AC 代码

C++ code

void slove()
{
	int n;cin >> n;
	string s;cin >> s;
	s = '0' + s;
	map<int,int> m;
	ll ans = 0;int sum = 0;
	for(int i = 1;i < s.size();i ++)
	{ 
		int x = s[i] - '0' - 1;
		sum += x;
		if(sum == 0)
		{
			ans++;
		}
		ans += m[sum];
		m[sum] ++;
	}
	cout << ans << endl;
}