518. 零钱兑换 II

518. 零钱兑换 II

题目链接：518. 零钱兑换 II(中等)

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

示例 1：

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2：

输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。

示例 3：

输入：amount = 10, coins = [10] 
输出：1

提示：

• 1 <= coins.length <= 300

• 1 <= coins[i] <= 5000

• coins 中的所有值 互不相同

• 0 <= amount <= 5000

解题思路

题目中说“假设每一种面额的硬币有无限个。 ”，通过这一句话可以判断这是一道完全背包问题。

但本题要求的是凑成总金额数有几种方法，而不是求能得到的最大金额数。

而且本题不强调元素之间的顺序，属于组合问题，排列问题是强调元素之间的顺序的。

运用动态规划五部曲解决问题：

1. 确定dp数组以及其下标的含义

   dp[j]表示凑成金额数为j的货币组合有多少种

2. 确定递推公式

   不考虑coins[i]的情况下，凑成金额数为j - coins[i]的货币组合方法有dp[j - coins[i]]种。

   也就是当前凑成金额数为j的方法数 = 之前凑成金额数为j的方法数 + 之前凑成金额数为j - nums[i]的方法数。于是得到递推公式为：dp[j] = dp[j] + dp[j - coins[i]]

3. dp数组的初始化

   用0个货币凑成金额数为0的方法有一种。

   所以dp[0] = 1

   下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]

4. 确定遍历顺序

   在纯完全背包问题中，先遍历物品还是先遍历背包都可以。但本题是组合问题，并不关心硬币使用的顺序，而是硬币有没有被用到，所以本题必须先遍历物品。如果是排列问题，即有顺序地进行排列，那就需要先遍历背包了 。

   总结：

   • 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

   • 如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

5. 举例推导dp数组(略)

C++

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {
            for (int j = coins[i]; j < amount + 1; j++) {
                dp[j] = dp[j] + dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

JavaScript

/**
 * @param {number} amount
 * @param {number[]} coins
 * @return {number}
 */
var change = function(amount, coins) {
    const dp = Array(amount + 1).fill(0);
    dp[0] = 1;
    for (let i = 0; i < coins.length; i++) {
        for (let j = coins[i]; j < amount + 1; j++) {
            dp[j] = dp[j] + dp[j - coins[i]];
        }
    }
    return dp[amount];
};