343. 整数拆分

343. 整数拆分

题目链接：343. 整数拆分(中等)

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

提示:

• 2 <= n <= 58

解题思路

方法一：动态规划

1. 确定dp数组以及其下标的含义

   dp[i]表示拆分数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]

2. 确定递推公式

   题目中给定的n是不小于2的，这里的n也就是dp数组中的i，假设对正整数i拆分出的第一个正整数是j，这里的j满足1 <= j < i，可以有两种方式：

   • 整数i只拆分为两个数的和。也就是将i拆分成j和(i-j)的和、且(i-j)不再继续拆分为其他整数的和，此时的乘积是 j × (i-j) ;

   • 整数i拆分为多个整数的和，一定是大于2个的。也就是将i拆分成j和(i-j)的和、且(i-j)继续拆分为多个正整数相加(也就是整数(i-j)的最大乘积)，此时的乘积是j × dp[i-j] 。

   于是可得递推公式为dp[i] =max(dp[i],max(j × (i-j), j × dp[i-j]))

3. dp数组的初始化

   dp[2] = 1（拆分从2开始的，0和1不能拆分）

4. 确定遍历顺序

   dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。枚举j的时候，是从1开始的。i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。

5. 举例推导dp数组

   当n = 10时,dp数组如下

    

C++

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        //1. dp[i]表示拆分数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]
        vector<int> dp(n + 1);
        //3. 初始化dp数组
        dp[2] = 1;
        //4. 遍历顺序
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                //2. 状态方程
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

JavaScript

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var integerBreak = function(n) {
    const dp = new Array(n + 1).fill(0);
    dp[2] = 1;
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        for (let j = 1; j <= i / 2; j++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max((i - j) * j), dp[i - j] * j);
        }
    }
    return dp[n];
};

时间复杂度：O(n^2)

空间复杂度：O(n)

方法二：贪心算法

本题也可以用贪心，每次拆成n个3，如果剩下是4，则保留4，然后相乘。

C++

class Solution1 {
public:
    int integerBreak(int n) {
        int result = 1;
        if (n == 2) return 1;
        if (n == 3) return 2;
        if (n == 4) return 4;
        while (n > 4) {
           result = result * 3;
           n = n - 3;
        }
        result = result * n;
        return result;
    }
};