62. 不同路径

62. 不同路径

题目链接:62. 不同路径(中等)

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100

• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

解题思路

动态规划问题。

1. 确定dp数组以及其下标的含义

   该题的dp数组是一个二维数组。dp[i,j]表示从(0,0)出发到(i,j)的路径数

2. 确定递推公式

   题目中表示每一步只能向下或向右移动，所以要走到 (i,j)处，只能从从(i,j-1)处向下走一步或从(i-1,j)处向右走一步。所以可以得到递推公式： dp[i,j] = dp[i,j - 1] + dp[i - 1,j]

3. dp数组的初始化

   从(0, 0)到(i, 0)的路径只有一条，所以dp[i,0] = 1，同理，dp[0,j] = 1

4. 确定遍历顺序

   由递推公式可以看出dp[i,j]是由其上方和其左方推到出来的，所以遍历顺序是从左到右一层一层地遍历的

5. 举例推导dp数组

   当m=3,n=7时，dp数组如下所示

   

C++

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        int dp[m][n]; //M行N列，用i表示行，j表示列
        for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};

JavaScript

/**
 * @param {number} m
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var uniquePaths = function(m, n) {
    //JS中创建二维数组的方法......
    const dp = new Array(m);
    for (let i = 0; i < m; i++) {
        dp[i] = new Array(n);
    }
    for (let i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
    for (let j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
    for (let i = 1; i < m; i++) {
        for (let j = 1; j < n; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        }
    }
    return dp[m - 1][n - 1];
};

时间复杂度：O(m × n)

空间复杂度：O(m × n)