[BZOJ1096][ZJOI2007]仓库建设 斜率优化
1096: [ZJOI2007]仓库建设
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Description
L公司有N个工厂,由高到底分布在一座山上。如图所示,工厂1在山顶,工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区(干燥少雨),L公司一般把产品直接堆放在露天,以节省费用。突然有一天,L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话,被告知三天之后将有一场暴雨,于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同,在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件,在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂,其产品应被运往其他的仓库进行储藏,而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N,故产品只能往山下运(即只能运往编号更大的工厂的仓库),当然运送产品也是需要费用的,
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的,可以容下所有的产品。你将得到
以下数据:1:工厂i距离工厂1的距离Xi(其中X1=0);2:工厂i目前已有成品数量Pi;:3:在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案,使得总的费用(建造费用+运输费用)最小。
Input
第一行包含一个整数N,表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。
Output
仅包含一个整数,为可以找到最优方案的费用。
Sample Input
0 5 10
5 3 100
9 6 10
Sample Output
HINT
在工厂1和工厂3建立仓库,建立费用为10+10=20,运输费用为(9-5)*3 = 12,总费用32。如果仅在工厂3建立仓库,建立费用为10,运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57,总费用67,不如前者优。
【数据规模】
对于100%的数据, N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内,保证中间计算结果不超过64位带符号整数。
题解:
考虑DP。
设f[i]表示在i建立仓库的最小费用,s[i]表示前i个工厂的产品数总和,t[i]表示到i为止,每个工厂的货物从1号工厂运到其原来的工厂的花费和。
则将j+1到i号工厂的货物全部运到i号工厂的花费为(s[i]-s[j])*x[i]-(t[i]-t[j])。
因此我们得到转移方程:f[i]=min(f[j]+(s[i]-s[j])*x[i]-(t[i]-t[j])+c[i]
这是考虑斜率优化,
设j>k,则当f[j]-f[k]+t[j]-t[k]<(s[j]-s[k])*x[i]时j比k优。
运用单调队列维护即可。
1 #include<iostream> 2 #include<cstring> 3 #include<cstdio> 4 #include<algorithm> 5 #include<cstdlib> 6 #include<cmath> 7 using namespace std; 8 int n; 9 long long d[1000001],w[1000001],c[1000001]; 10 long long f[1000001]; 11 long long s[1000001],t[1000001]; 12 int q[1000001]; 13 int head,tail; 14 long long up(int k,int j){return f[j]-f[k]+t[j]-t[k];} 15 long long down(int k,int j){return s[j]-s[k];} 16 int main() 17 { 18 scanf("%d",&n); 19 for(int i=1;i<=n;i++) 20 { 21 scanf("%lld%lld%lld",&d[i],&w[i],&c[i]); 22 s[i]=s[i-1]+w[i]; 23 t[i]=t[i-1]+w[i]*d[i]; 24 } 25 for(int i=1;i<=n;i++) 26 { 27 while(head<tail&&up(q[head],q[head+1])<down(q[head],q[head+1])*d[i])head++; 28 int now=q[head]; 29 f[i]=f[now]+(s[i]-s[now])*d[i]-(t[i]-t[now])+c[i]; 30 while(head<tail&&up(q[tail-1],q[tail])*down(q[tail],i)>up(q[tail],i)*down(q[tail-1],q[tail])) tail--; 31 q[++tail]=i; 32 } 33 cout<<f[n]; 34 }