[BZOJ1010][HNOI2008]玩具装箱toy

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

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Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

 

 

设dp方程：f[i]=min(f[j]+(s[i]-s[j]+i-j-1-L)^2)

考虑斜率优化：设j<k则当f[k]+(s[i]-s[k]-c+i-k-1-L)^2<=f[j]+(s[i]-s[j]-c+i-j-1-L)^2时j不会为最优解

设t[i]=s[i]+i,t[k]=s[k]+k,t[j]=s[j]+j,c=1+L。则有f[k]+(t[i]-t[k]-c)^2<=f[j]+(t[i]-t[j]-c)^2

展开得(f[k]+(t[k]+c)^2-d[j]-(t[j]+c)^2)/2*(t[k]-t[j])<=t[i]

随后进行斜率优化

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define inf 1000000000
#define ll long long
using namespace std;
ll n,L,l,r;
ll c[50005],q[50005];
ll s[50005],f[50005],C;
ll up(int j,int k){return f[k]-f[j]+(s[k]+C)*(s[k]+C)-(s[j]+C)*(s[j]+C);}
ll down(int j,int k){return 2*(s[k]-s[j]);}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&L);
    C=L+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&c[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)s[i]=s[i-1]+c[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)s[i]+=i;
    l=1;r=0;q[++r]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(l<r&&up(q[l],q[l+1])<=s[i]*down(q[l],q[l+1]))l++;
        int t=q[l];
        f[i]=f[t]+(s[i]-s[t]-C)*(s[i]-s[t]-C);
        while(l<r&&up(q[r],i)*down(q[r-1],q[r])<up(q[r-1],q[r])*down(q[r],i))r--;
        q[++r]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}