ODT 珂朵莉树 详解

人们都说珂教兴国，无奈珂学家里数我最菜，只会背一背ODT板子

珂朵莉镇楼

名字来源

ODT全称Old Driver Tree，中文名 珂朵莉树

有人为了CF896C发明了这个算法，这道题又和珂朵莉有关，所以这个算法叫做珂朵莉树

另外，由于发明者(lxl)的原因，也珂叫ODT(Old Driver Tree).

Warning！

ODT可以解决一些线段树不能解决的问题，如区间次幂求和

但要求数据随机，随机下跑得很快，开了O2更快

数据不随机就是个假算法，开了O2也没用

前置芝士:set

这个大佬讲的很详细

据说set是用红黑树实现的，O2下效率很高

set是自带排序+去重的

set自带一些函数

迭代器类似于指针

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begin() 　返回set容器的第一个元素

end() 　　　　返回set容器的最后一个元素的后一个

clear() 　　删除set容器中的所有的元素

empty() 　　　判断set容器是否为空

size() 　　　 返回当前set容器中的元素个数

lower_bound() 返回指向大于或等于某值的第一个元素的迭代器

upper_bound() 返回大于某个值元素的迭代器

find() 返回一个指向被查找到元素的迭代器，如果没找到则返回end()。

count() 返回查找set中某个某个键值出现的次数，结果只会是0/1

erase(iterator) 删除定位器iterator指向的值

erase(key_value) 删除键值key_value的值

insert(key_value) 将key_value插入到set中，返回值是 pair< set::iterator,bool>，bool标志着插入是否成功，而iterator代表插入的位置，若key_value已经在set中，则iterator表示的key_value在set中的位置。

最后一个看不懂没关系，只要知道insert().first返回的是一个迭代器就行

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另外，set的储存元素是结构体时，需要重载"<"

像这样

friend bool operator <(const node &a,const node &b){return a.l<b.l;} `

下面是我的结构体写法

点我展开代码struct node
{
	int l,r;
	mutable long long val;
	node(int L=0,int R=-1,int V=0):l(L),r(R),val(V){}
	friend bool operator <(const node &a,const node &b){return a.l<b.l;} 
};

算法流程

想看视频讲解的点这里

ODT主要是依靠set来实现的，用来维护一个序列

set里装的是结构体元素，每个元素有3个基本属性:L,R,val

就相当于把序列分为若干个"块"，每一个块里的元素在序列上相连且权值相等

L和R是块的左右端点，val是权值

借大佬的图一用

``

关键操作

一般写ODT时都有define IT set::iterator

split

将含有pos的区间[l,r]拆分为[l,pos-1)和[pos,r]

同时返回一个指向[pos,r]的迭代器

点我展开代码IT split(int pos)
{
	IT it=s.lower_bound(node(pos));
	if(it!=s.end()&&it->l==pos)return it;
	--it;
	int ll=it->l,lr=it->r;
	char lv=it->v;
	s.erase(it);
	s.insert(node(ll,pos-1,lv));
	return s.insert(node(pos,lr,lv)).first;
}

Assign/tuiping

极其暴力的一个操作

把原先的删了，再重新加一个新的

注意split时，要先split(r+1)，再 split(l)，否则会RE，原因有点复杂，想知道的看这个

点我展开代码void tuiping(int l,int r,char v)
{
	IT it2=split(r+1),it1=split(l);
	s.erase(it1,it2);
	s.insert(node(l,r,v));
}

其他操作

以CF896C为例，下面为了美观自动省去了long long和取模操作

这些真的是一个比一个暴力

区间求x次幂和

线段树无法完成此操作

用ODT的话暴力加起来就行

点我展开代码int sum(int l,int r,int x,int mod)
{
	IT it2=split(r+1),it1=split(l);
	long long res=0;
	for(;it1!=it2;++it1)res=res+(it1->r-it1->l+1)*ksm(it1->val,x,mod);
	return res;
}

区间加

暴力加就行

点我展开代码void add(int l,int r,int v)
{
	IT it2=split(r+1),it1=split(l);
	for(;it1!=it2;++it1)it1->val+=v;
}

区间赋值

Assign原封不动

区间k小

暴力取出来排个序就行

点我展开代码int my_rank(int l, int r, int k)
{
    vector<pair<int, int> > vp;
    IT itr = split(r+1),itl = split(l);
    vp.clear();
    for (; itl != itr; ++itl)
        vp.push_back(pair<int,int>(itl->val, itl->r - itl->l + 1));
    sort(vp.begin(), vp.end());
    for (vector<pair<int,int> >::iterator it=vp.begin();it!=vp.end();++it)
    {
        k -= it->second;
        if (k <= 0) return it->first;
    }
}

然后这道题就解决啦

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后记：

1.要想用ODT一定要看看数据是不是随机的，有的时候出题人会给一部分随机数据的部分分

2.写ODT的时候要小心，写错很容易RE

题单：

下面的好多题都卡了ODT(但还有部分分)，可以用来练练手

CF896C Willem, Chtholly and Seniorious这个用ODT可以过

P3740 [HAOI2014]贴海报

CF915E Physical Education Lessons这个用ODT可以过

P4979 矿洞：坍塌

P4344 [SHOI2015]脑洞治疗仪

P2572 [SCOI2010]序列操作

P5350 序列 题解 这个用ODT可以过

P2824 [HEOI2016/TJOI2016]排序 题解 这个用ODT也可以过，还挺快(开O2)，没有被卡主要还是因为没有人想得到这题还能用ODT...