小球与盒子 的奇妙关系

小球盒子学得好，计数分数少不了。

下面假设现在有 \(n\) 个球 \(m\) 个盒子。

1.球不同，盒不同。

考虑一个球有 \(m\) 种选择方案，球之间的选择互不影响，所以答案就是 \(m^n\).

2.球不同，盒不同，每个盒至多一个球。

如果 \(n>m\) ，那么显然答案为 \(0\).

否则考虑第一个球有 \(m\) 种放法，第二个有 \(m-1\) 种...所以答案就是 \(\displaystyle \prod_{i=m-n}^{m}i\)

3.球不同，盒不同，每个盒子至少一个球。

如果 \(n<m\) ，那么显然答案为 \(0\).

因为第二类斯特林数求的是 盒子相同的情况，并且没有空盒，只要乘上 \(m!\) 就可以了认为盒子是不同的啦。

所以答案就是 \(S_{n}^m \times m!\) ,其中 \(S\) 是第二类斯特林数。

4.球不同，盒相同。

因为第二类斯特林数要求没有空盒，这里并不做要求，所以我们可以讨论一下用了几个盒子，答案就是 \(\displaystyle \sum_{i=1}^{min(n,m)} S_n^i\)

5.球不同，盒相同，每个盒子至多一个球。

当 \(n>m\) 的时候 ，方案数为0.

则方案数为 \(1\).

6.球不同，盒相同，每个盒子至少一个球。

如果 \(n<m\) ，那么显然答案为 \(0\).

否则答案就是第二类斯特林数 \(S_n^m\)

7.球相同，盒不同。

隔板法，注意可以有空盒子 \(C_{n+m-1}^{m-1}\)

8.球相同，盒不同，每个盒子至多一个球。

盒子之间的区别是有球和没球，考虑哪些盒子里有球 \(C_m^n\)

9.球相同，盒不同，每个盒子至少一个球。

隔板法，注意不能有空盒子 \(C_{n-1}^{m-1}\)

10.球相同，盒相同。

可以 \(DP\) ，设 \(f[n][m]\) 为有 \(n\) 个球 \(m\) 个盒子时的情况。

转移的话考虑当前有没有空的盒子。

要是有的话，拿掉一个空盒子也没有影响 \(f[n][m-1]\)

否则每个盒子里都拿出来一个球也没影响 \(f[n-m][m]\)

所以 \(f[n][m]=f[n][m-1]+f[n-m][m]\)

11.球相同，盒相同，每个盒子至多一个球。

当 \(n>m\) 的时候 ，方案数为0.

则方案数为 \(1\).

12.球相同，盒相同，每个盒子至少一个球。

我们先在每个盒子里放上一个球，就变成了情况10，所以答案就是 \(f[n-m][m]\)