关于 计数题 的一些认识

爱数数的人上大学了，所以计数题就多了

建议先练习好小球与盒子的计数。

\(CSP\) 前学会求组合数的多种方法，\(O(n^2)\) 求斯特林数。

省选前学好 \(NTT\)

计数题首先要知道怎么判断不同，一般都很显然，不显然的话题目里应该也会说。

有的时候需要找找性质，转化一下等价的判别不同的方法。

通常会使用 \(DP\) 求解，把会造成不同的情况放到数组的，然后考虑不同之间的转移。

经常用到的东西:组合数，斯特林数，NTT等。

组合数

组合数可以用杨辉三角 \(n^2\) 递推来求，不用考虑模数是否是质数。

当模数是大质数(不会用到大于等于mod的数的阶乘)的时候，可以预处理阶乘及其逆元，然后 \(O(1)\) 来求。

如果是小质数，可以先预处理小于mod的数的阶乘，然后考虑卢卡斯定理。

如果出题人很毒瘤，模数不是质数，但质因数分解后每个质数的指数都是1，就可以考虑用上边的方法对分解出来的指数求解，然后用中国剩余定理合并答案。例子

如果出题人更毒瘤，模数不是质数，质因数分解后每个质数的指数不一定都是1，那么可以考虑扩展卢卡斯。

斯特林数

分第一类和第二类。常用到第二类，也是小球与盒子的模型的一种。

可以用 \(n^2\) 递推，不用考虑模数是否是质数。

当模数是 \(NTT\) 模数的时候，可以用 \(NTT\) 来求，但通常只用来求第二类斯特林数·行,由 \(O(n^2)\) 变成了 \(O(nlogn)\)

NTT

常用来优化卷积，有的时候还会用到分治 \(NTT\) ，分两种，一种是洛谷模板，另一种是多个小多项式合并

错排

设 \(ans[i]\) 是 \(i\) 个数的错排问题。

那么考虑第 \(i\) 放在 \(j\) 的位置,一共有 \(i-1\) 种选择。

如果 \(j\) 放在了 \(i\) 的位置，那么问题规模缩小 \(2\) ,有 \(ans[i-2]\) 种方案。

否则剩下的 \(i-1\) 个数都有一个不能放的位置，有 \(ans[i-1]\) 种方案。

所以 \(ans[i]= (i-1) \times (ans[i-1]+ans[i-2])\)

实在不会的话可以直接背

卡特兰数

有一些神奇的性质。

求法一：\(\displaystyle f[n]=\sum_{i=0}^{n-1}f[i] \times f[n-i-1]\)

求法二：\(\displaystyle f[n]=\frac{C_{2n}^{n}}{n+1}\)

应用：括号计数，出栈次序，凸多边形三角划分，二叉搜索树计数。

其他

n个点的无根树有 \(n^{n-2}\) 种，有根数有 \(n^{n-1}\) 种，证明需要学习prufer序列的相关知识