各种公式总结

二项式定理 \(\displaystyle (a+b)^n=\sum_{i=0}^n C_n^i a^i b^{n-i}\) 注意推式子的时候可能会倒着推，a和b也能是1

设\(d(x)\)为\(x\)的约数个数\(\displaystyle d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]\)

设\(\sigma_1(i)\)表示i的约数和，那么\(\displaystyle \sigma_1(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]\frac{xj}{y}\)

简单多面体的顶点数 \(V\) 、面数 \(F\) 及棱数 \(E\) 间的关系:\(F-E+V=2\)
将二维平面看作平面图时，注意到平面图包含无限面。

\(\displaystyle \left \lfloor \frac{\left \lfloor \frac{n}{a}\right \rfloor}{b} \right \rfloor =\left \lfloor \frac{n}{ab}\right \rfloor\)

二项式反演:由\(\displaystyle g(k)=\sum_{i=k}^nC_i^kf(i)\)
可得\(\displaystyle f(k)=\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}C_i^kg(i)\)

枚举子集的技巧 \(for (k=j \& (j-1);k;k=j \& (k-1))\)

\(\displaystyle \sum_{p|n}\mu(p)=[n=1]\)

\(\varphi (i^2)=i \varphi (i)\)

\(1* \varphi =id \space\space\space\space\space 1*\mu=e=[n=1] \space\space\space\space\space \mu*id=\varphi \space\space\space\space\space id*1=约数和\)

杜教筛 \(\displaystyle g(1)S(n)=\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-\sum_{i=2}^{n}g(i)S(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)\)

与直径相关的结论1：与一个点距离最大的点为任意一条直径的两个端点之一。
与直径相关的结论2：两棵树之间连一条边，新树直径的两个端点一定为第一棵树直径的两个端点和第二棵树直径的两个端点这四者中之二。

对于任意的积性函数 \(f\),有\(f(gcd(a,b)) \times f(lcm(a,b)) = f(a) \times f(b)\)。

\(\displaystyle \sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2} \space\space\space\space\space \sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \space\space\space\space\space \sum_{i=1}^ni^3=(\sum_{i=1}^ni)^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\)

点(\(x_0\),\(y_0\))到直线\(Ax+By+C=0\)的距离:\(\displaystyle \frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\)

点积\((X_1,Y_1)·(X_2,Y_2)=X_1X_2+Y_1Y_2\) \(\space\space\space\space\space\) 叉积\((X_1,Y_1)×(X_2,Y_2)=X_1Y_2-Y_1X_2\)

辛普森(Simpson)公式:\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx \approx \frac{(b-a)(f(a)+f(b)+4f(\frac{a+b}{2}))}{6}\)

设\(f[i]\)为斐波那契数列的第\(i\)项，则\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}f[i]=f[n+2]-f[2]\)

Hall定理：对于一个二分图，设左边有个n点，右边有个m点，则左边个点能完全匹配的充要条件是：对于1<=i<=n,左面任意i个点，都至少有i个右面的点与它相连。例题

斯特林数递推式 \(\begin{Bmatrix}n\\k \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\k-1\end{Bmatrix}+k\cdot \begin{Bmatrix}n-1\\k \end{Bmatrix}\\ \begin{bmatrix}n\\k \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\k-1 \end{bmatrix}+(n-1)\cdot \begin{bmatrix}n-1\\k \end{bmatrix}\)

\(\displaystyle n^m=\sum_{k=0}^m \begin {Bmatrix}m\\k \end{Bmatrix} C_n^kk!\)

斯特林反演：
\(\displaystyle f(n)=\sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix}n\\k \end{Bmatrix}g(k) \Longleftrightarrow g(n)=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\begin {bmatrix} n\\k \end{bmatrix}f(k)\)

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} [gcd(i,j)=1]=2\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)-1\)

min_max 容斥 :
\(\displaystyle max(S)=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|T|+1}min(T)\)
\(\displaystyle min(S)=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|T|+1}max(T)\)
在期望的情况下成立：\(\displaystyle E(max(S))=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(min(T))\)小同大
在第k大的情况下成立:\(\displaystyle Kthmax(S)=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|T|-k}C_{|T|-1}^{k-1}min(T)\)小同大
在期望下k大也成立:\(\displaystyle E(Kthmax(S))=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|T|-k}C_{|T|-1}^{k-1}E(min(T))\)小同大
注意上面说的\(T\)不能是空集

将一棵树分成\(x\)个连通块，且每个连通块的大小相同充要条件是至少有\(\frac{n}{x}\)个节点的子树大小为\(x\)的倍数

给定一个排列,令\(c[i]\)表示第\(i\)个数前面有几个比他大的,冒泡排序一次冒泡后，所有\(c[i]\)必定会减少\(1\)，且只会减少\(1\)。例子

中国剩余定理:\(x≡a_1 (mod) m1 ...\)有正整数解\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_iM_it_i\),其中\(\displaystyle M=\prod_{i=1}^{n}m_i,M_i=\frac{M}{m_i}\),\(t_i\)是线性同余方程\(M_it_i≡1\)的一个解。

所有和为 \(n\) 的序列(有序)个数为 \(2^{n-1}\)

和的 FWT 等于 FWT 的和

\(\displaystyle \varphi(ij)=\frac{\varphi(i) \varphi(j) gcd(i,j)}{\varphi(gcd(i,j))}\)

割边最少的最小割:把边的权值全部乘以一个较大的数E(大于边数)再加1， 网络流的答案ans,那么ans/E为最小割, ans%E为边数

对于一棵树\(\displaystyle \sum deep_i=\sum size_i\)

数联通块和数别的东西通常可以相互转化，对于森林来说，联通块数=点数-边数

Burnside引理:对于一个置换f,若一个染色方案s经过置换后不变，称s为f的不动点。将f的不动点数目记为C(f)，则等价类数目为所有C(f)的平均值。

单位根反演公式：\(\displaystyle [k|n]=\frac{1}{k} \sum_{i=0}^{k-1} ω_k^{in}\)

假设我们有一个集合 \(A\)，其中 \(|A|=n\)，而 \(A\) 的线性基我们记作 \(G\)，且 \(|G|=k∣G∣=k\)，那么对于 \(A\) 所有子集 \(S_i(1\le i\le 2^n)\)的异或和只会有 \(2^{k}\) 个值，每个值出现的次数为 \(2^{n-k}\) 次。

\(kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}\)

裴蜀定理：a和b可变，an+bm=x充要条件是x是gcd(n,m)倍数

max(a,b)<=a|b<=a+b 0<=a&b<=min(a,b) a-b<=a^b<=a+b