生成函数学习笔记
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生成函数
二项式系数(组合数)
Cmn=n!m!(n−m)!
n∈R,m∈N时广义二项式定理系数
Cmn=n(n−1)...(n−m+1)m!
广义二项式定理(a 不一定是整数)
(1+x)a=∞∑i=0Ciaxi
关于二项式的恒等式
Cmn=Cn−mn
多项式求导
(xa)′=axa−1
多项式积分
∫xadx=xa+1a+1
一般生成函数(OGF)(转载 铃悬)
∑n≥0[n=m]xn=xm∑n≥0xn=11−x∑n≥0(−1)nxn=11+xm∑n≥0xn=1−xm+11−x∑n≥mxm=xm1−x∑n≥0cnxn=11−cx∑n≥0nxn=1(1−x)2∑n≥0Cnn+k−1xn=1(1−x)k∑n≥0xnk=11−xk∑n≥0xnn!=ex∑n≥0cnxnn!=ecx∑n≥0(−1)n−1nxn=ln(1+x)∑n≥0(−1)n−1nxkn=ln(1+xk)∑n≥01nxn=ln11−x∑n≥01nxkn=ln11−xk
前缀和 生成函数乘上∞∑i=0xi=(1−x)−1
差分 生成函数乘上(1−x)
指数生成函数(EGF)
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