虚树

虚树 Virtual Tree

浓缩信息，把一整颗大树浓缩成一颗小树。
下图中，红色结点是我们选择的关键点。红色和黑色结点都是虚树中的点。黑色的边是虚树中的边。
OIWIKI

两种建树方式
1.第一种构造过程：二次排序 + LCA 连边(容易理解，常数略大)

bool cmp(int x, int y) {
  return dfn[x] < dfn[y];  // 按照 dfn 序排序
}
void build()
{
	sort(h+1,h+1+m,cmp);//按dfn序从小到大
	for(int i=1;i<m;i++)
	{
		a[++len]=h[i];
		a[++len]=lca(h[i],h[i+1]);
	}
	a[++len]=h[m];
	sort(a+1,a+1+len,cmp);
	len=unique(a+1,a+1+len)-a-1;
	for(int i=1,lc;i<len;i++)
	{
		lc=lca(a[i],a[i+1]);
		connect(lc,a[i+1]);
	}
}

2.第二种:单调栈
链式前向星魅力时刻：其中有很多细节，比如用邻接表存图的方式存虚树的话，需要清空邻接表。但是直接清空整个邻接表是很慢的，所以我们在 有一个从未入栈的元素入栈的时候清空该元素对应的邻接表 即可。

void build(int M)
{
	sort(ls+1,ls+1+M,cmp);//按dfn序从小到大
	sta[top=1]=1;head[1]=0;cnt=0;// 1 号节点入栈，清空 1 号节点对应的邻接表，设置邻接表边数为 1
	for(int i=1;i<=M;i++)
	{
		if(ls[i]!=1)
		{
			int l=lca(ls[i],sta[top]);
			if(l!=sta[top])
			{
				while(dfn[l]<dfn[sta[top-1]])
					add(sta[top-1],sta[top]),top--;
				if(dfn[l]>dfn[sta[top-1]])  // 如果 LCA 不等于次大节点（这里的大于其实和不等于没有区别）
					head[l]=0,add(l,sta[top]),sta[top]=l;        // 说明 LCA 是第一次入栈，清空其邻接表，连边后弹出栈顶元素，并将 LCA// 入栈
				else add(l,sta[top--]); // 说明 LCA 就是次大节点，直接弹出栈顶元素	
			}
			head[ls[i]]=0;sta[++top]=ls[i];

		}
	}
	for(int i=1;i<top;i++)add(sta[i],sta[i+1]);
}

P2495 [SDOI2011] 消耗战

我们发现如果每一次都跑一遍\(O(n)\)\(DP\)是不值当的，所以可以建虚树

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
#define speed() ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define ll long long
#define lid (rt<<1)
#define rid (rt<<1|1)
// #define endl '\n'
#define pb push_back
using namespace std;
const int N = 2.5e5+5;
vector <pair<int,int>> e[N];
struct eg
{
	int u,v,w,next;
}edge[N<<1];int cnt,head[N];
void add(int u,int v)
{
	edge[++cnt].u=u;
	edge[cnt].v=v;
	edge[cnt].next=head[u];head[u]=cnt;
}
int n,m,f[N][25],dfn[N],rk[N],dfstot,dep[N];ll minv[N];
void dfs(int u)
{
	dfn[u]=++dfstot;rk[dfstot]=u;
	dep[u]=dep[f[u][0]]+1;
	for(int i=1;i<=20;i++)
		f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
	for(auto [to,w]:e[u])
	{
		if(to==f[u][0])continue;
		minv[to]=min<ll>(minv[u],w);
		f[to][0]=u;
		dfs(to);
	}
}
int lca(int u,int v)
{
	if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if(dep[f[u][i]]>=dep[v])u=f[u][i];
	if(u==v)return u;
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if(f[u][i]!=f[v][i])
			u=f[u][i],v=f[v][i];
	return f[u][0];
}
int ls[N],query[N],sta[N],top;
bool cmp(int a,int b){return dfn[a]<dfn[b];};
void build(int M)
{
	sort(ls+1,ls+1+M,cmp);//按dfn序从小到大
	sta[top=1]=1;head[1]=0;cnt=0;// 1 号节点入栈，清空 1 号节点对应的邻接表，设置邻接表边数为 1
	for(int i=1;i<=M;i++)
	{
		if(ls[i]!=1)
		{
			int l=lca(ls[i],sta[top]);
			if(l!=sta[top])
			{
				while(dfn[l]<dfn[sta[top-1]])
					add(sta[top-1],sta[top]),top--;
				if(dfn[l]>dfn[sta[top-1]])  // 如果 LCA 不等于次大节点（这里的大于其实和不等于没有区别）
					head[l]=0,add(l,sta[top]),sta[top]=l;        // 说明 LCA 是第一次入栈，清空其邻接表，连边后弹出栈顶元素，并将 LCA// 入栈
				else add(l,sta[top--]); // 说明 LCA 就是次大节点，直接弹出栈顶元素	
			}
			head[ls[i]]=0;sta[++top]=ls[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<top;i++)add(sta[i],sta[i+1]);
}
ll dfs1(int u)
{
	ll sum=0;ll tem;
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
	{
		int to=edge[i].v;
		sum+=dfs1(to);
	}
	if(query[u])
		tem=minv[u];
	else 
		tem=min(minv[u],sum);
	query[u]=0;
	head[u]=0;
	return tem;
}
int main()
{
	speed();
	// freopen("in.in","r",stdin);
	// freopen("out.out","w",stdout);
	cin>>n;int u,v,w;
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
	{
		cin>>u>>v>>w;
		e[u].pb({v,w});e[v].pb({u,w});
	}
	minv[1]=1e18;
	dfs(1);
	cin>>m;
	int num;
	while(m--)
	{
		cin>>num;
		for(int i=1;i<=num;i++)
		{
			cin>>ls[i];query[ls[i]]=1;
		}
		// num++
		// sort(ls+1,ls+1+num,cmp);
		// cout<<m<<endl;
		build(num);
		cout<<dfs1(1)<<endl;
	}
	return 0;
}

寻宝游戏

其实，这题可以用\(set\)完美解决

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
#define speed() ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define ll long long
#define lid (rt<<1)
#define rid (rt<<1|1)
// #define endl '\n'
#define pb push_back
using namespace std;
const int N = 1e5+5;
int n,m;
vector <pair<int,int>> e[N];
ll dis[N];int dep[N],dfstot,dfn[N],f[N][25],rk[N];
void dfs(int u)
{
	dep[u]=dep[f[u][0]]+1;
	dfn[u]=++dfstot;rk[dfstot]=u;
	for(int i=1;i<=20;i++)
		f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
	for(auto [to,w]:e[u])
	{
		if(to==f[u][0])continue;
		f[to][0]=u;
		dis[to]=dis[u]+w;
		dfs(to);
	}
}
int lca(int u,int v)
{
	if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if(dep[f[u][i]]>=dep[v])u=f[u][i];
	if(u==v)return u;
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if(f[u][i]!=f[v][i])
			u=f[u][i],v=f[v][i];
	return f[u][0];
}
set <int> s;
bool is[N];
ll get(int u,int v){return dis[u]+dis[v]-2*dis[lca(u,v)];}
int main()
{
	speed();
	// freopen("in.in","r",stdin);
	// freopen("out.out","w",stdout);
	cin>>n>>m;
	int x,y,z;
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
	{
		cin>>x>>y>>z;e[x].pb({y,z});e[y].pb({x,z});
	}
	dfs(1);
	int t;ll ans=0;
	while(m--)
	{
		cin>>t;
		if(!is[t])s.insert(dfn[t]);
		auto pre=s.lower_bound(dfn[t]);
		if(pre!=s.begin())pre--;
		else pre=s.end(),pre--;
		auto nxt=s.upper_bound(dfn[t]);
		if(nxt==s.end())nxt=s.begin();
		if(is[t])s.erase(dfn[t]);
		int x=rk[*pre],z=rk[*nxt],y=t;
		ll d=get(x,y)+get(y,z)-get(x,z);
		if(!is[t])ans+=d,is[t]=1;
		else ans-=d,is[t]=0;
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}