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守卫者的挑战

守卫者的挑战

题目描述

打开了黑魔法师 Vani 的大门,队员们在迷宫般的路上漫无目的地搜寻着关押 applepi 的监狱的所在地。突然,眼前一道亮光闪过。“我,Nizem,是黑魔法圣殿的守卫者。如果你能通过我的挑战,那么你可以带走黑魔法圣殿的地图……”瞬间,队员们被传送到了一个擂台上,最初身边有一个容量为K的包包。

擂台赛一共有 \(N\) 项挑战,各项挑战依次进行。第 \(i\) 项挑战有一个属性 \(a_i\),如果 \(a_i\geq 0\),表示这次挑战成功后可以再获得一个容量为 \(a_i\) 的包包;如果 \(a_i=-1\),则表示这次挑战成功后可以得到一个大小为 \(1\) 的地图残片。地图残片必须装在包包里才能带出擂台,包包没有必要全部装满,但是队员们必须把 【获得的所有的】地图残片都带走(没有得到的不用考虑,只需要完成所有N项挑战后背包容量足够容纳地图残片即可),才能拼出完整的地图。并且他们至少要挑战成功 \(L\) 次才能离开擂台。

队员们一筹莫展之时,善良的守卫者 Nizem 帮忙预估出了每项挑战成功的概率,其中第 \(i\) 项挑战成功的概率为 \(p_i\%\)。现在,请你帮忙预测一下,队员们能够带上他们获得的地图残片离开擂台的概率。

解题思路

这题我们首先可以想到用背包DP概率期望来解决,设 \(F[i][j][k]\),表示已经打了 \(i\) 场比赛,赢了 \(j\) 场,现在的背包容量为 \(k\)\(p[i]\) 表示第 \(i\) 场的概率,所以要建一个三维数组。
但是,问题在于 \(N*N*K\) 的数组大小显然是开不下的,但是背包容量大于等于 \(K\) 的时候,是始终成立的,所以我们可以视为一种情况,空间开够了考虑 DP。我们可以推出:

\[if(k+a[i+1]>=2n)\\ \begin{cases} f[i+1][j+1][n*2]+=f[i][j][k]*p[i+1]; \\ f[i+1][j][k]+=f[i][j][k]*(1-p[i+1]);\end{cases} \]

\[else\\ \begin{cases} f[i+1][j+1][k+a[i+1]]+=f[i][j][k]*p[i+1];\\ f[i+1][j][k]+=f[i][j][k]*(1-p[i+1]); \end{cases} \]

注意输赢到要考虑哟。
然后我们考虑时间复杂度,是小于\(O(n^3)\)
格外考虑对负数的处理,即开\(2*n\)即可。
这样就完成啦!


#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define D double
#define rint int
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define lid (rt<<1)
#define rid (rt<<1|1)
#define speed() ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
const int N = 205;
int n,l,K,a[N];
double p[N],f[N][N][2*N];
int main()
{
	speed();
	cin>>n>>l>>K;
	K=min(K,n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>p[i];
		p[i]=p[i]/100.0;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	f[0][0][K+n]=1;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=i;j++)
		{
			for(int k=0;k<=2*n;k++)
			{
				if(!f[i][j][k])continue;
				if(k+a[i+1]>=2*n)
				{
					f[i+1][j+1][n*2]+=f[i][j][k]*p[i+1];
					f[i+1][j][k]+=f[i][j][k]*(1-p[i+1]);
				}else
				{
					f[i+1][j+1][k+a[i+1]]+=f[i][j][k]*p[i+1];
					f[i+1][j][k]+=f[i][j][k]*(1-p[i+1]);
				}
//				cout<<i<<" "<<j<<" "<<k<<" "<<f[i][j][k]<<endl;
			}
		}
	}
	double ans=0;
	for(int i=l;i<=n;i++)
	{
		for(int j=n;j<=2*n;j++)
			ans+=f[n][i][j];
	}
	printf("%.6lf",ans);
	return 0;
}

当然,还少不了记忆化搜索的做法啦!具体细节请看代码:

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define D double
#define rint int
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define lid (rt<<1)
#define rid (rt<<1|1)
#define speed() ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
const int N = 205;
int n,l,K,a[N];
double p[N],f[N][N][2*N];
bool vis[N][N][2*N];
double dp(int x,int y,int c)
{
//	cout<<x<<" "<<y<<" "<<c<<endl;
	if(n-x<l-y)return 0;//这里有个小小的优化,当剩下的场数就算全赢也小于L,那么是不成立的情况
	double &v=f[x][y][c];
	if(vis[x][y][c])return v;
	vis[x][y][c]=1;
	if(x==n)//考虑边界问题
	{
		if(y>=l&&c>=n)return v=1;//只有背包容量不为负数,赢的场数满足条件就返回1即可
		else return 0;
	}
	if(c+a[x+1]>=2*n)
	{
		v+=dp(x+1,y+1,2*n)*p[x+1];
		v+=dp(x+1,y,c)*(1-p[x+1]);
	}else
	{
		v+=dp(x+1,y+1,c+a[x+1])*p[x+1];
		v+=dp(x+1,y,c)*(1-p[x+1]);		
	}			
	return v;
}
int main()
{
	speed();//正常输入输出
	cin>>n>>l>>K;
	K=min(K,n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>p[i];
		p[i]=p[i]/100.0;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	printf("%.6lf",dp(0,0,n+K));
	return 0;
}
posted @ 2024-05-25 17:37  wlesq  阅读(10)  评论(0编辑  收藏  举报