木棍分割

[HAOI2008] 木棍分割

题目描述

有n根木棍, 第i根木棍的长度为Li,n根木棍依次连结了一起, 总共有n-1个连接处. 现在允许你最多砍断m个连接处, 砍完后n根木棍被分成了很多段,要求满足总长度最大的一段长度最小, 并且输出有多少种砍的方法使得总长度最大的一段长度最小. 并将结果mod 10007。。。

输入格式

输入文件第一行有2个数n,m. 接下来n行每行一个正整数Li,表示第i根木棍的长度.

输出格式

输出有2个数, 第一个数是总长度最大的一段的长度最小值, 第二个数是有多少种砍的方法使得满足条件.

样例 #1

样例输入 #1

3 2                           
1 
1
10

样例输出 #1

10 2

提示

两种砍的方法: (1)(1)(10)和(1 1)(10)

数据范围

n<=50000, 0<=m<=min(n-1,1000).

1<=Li<=1000.

我们很容易可以看出用二分求出长度最小值,然后求方案数
首先如果用DFS

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N =5e4+10,mod=10007;
int n,m,a[N],sum[N];
bool cut[N],vis[N];
bool check(ll mid)
{
	ll tot=0,num=0;ll pre=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(num>m)return 0;
		if(pre+a[i]<=mid)pre+=a[i];
		else 
		{
			tot=max(tot,pre);
			pre=a[i];
			num++;
		}
	}
	tot=max(tot,pre);
	if(tot>mid||num>m)return 0;
	return 1;
}
ll work;ll len;
void dfs(int now,int cnt,int maxle,int pre)
{
//	cout<<cnt<<" "<<maxle<<endl;
	if(maxle>len||cnt>m)return;
	if(cnt<=m)
	{
//		cout<<pre<<endl;
		if(maxle==len||sum[n]-sum[pre-1]==len)work++;
//		cout<<"%%"<<maxle<<endl;
		if(cnt==m)return ;
	}
	for(int i=now;i<=n;i++)
	{
		if(!cut[i])
		{
			cut[i]=1;
//			cout<<cnt<<" "<<i<<" "<<pre<<endl;
			dfs(i+1,cnt+1,max(maxle,sum[i]-sum[pre-1]),i+1);
			cut[i]=0;
		}
	}
}
void clear()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		vis[i]=cut[i]=0;
	}
}

void fen(ll l,ll r)
{
	while(l<=r)
	{
		ll mid=(l+r)>>1;
		clear();
		if(check(mid))
		{
			r=mid-1;
			len=mid;
		}
		else
		{
			l=mid+1;
		}
	}
}
int main(){
	ios_base::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	int l=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		l=max(l,a[i]);
		sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	}
	fen(l,sum[n]);
	dfs(2,0,a[1],1);
	cout<<len<<" "<<work<<endl;
	return 0;
}
/*
3 1
2 4 3
*/

但是回超时乐

所以改变思路，用DP
如果\(f[i,j]\)表示前j个木棍分成i组
这里\(O(n^3)\)显然不行
所以我们可以记录一下从不同下标木棍开始最多到哪里<=len//这里有点像容斥（就是总方案数减去不合法方案数）。
这样就不用每次再从1开始找
然后用S维护前缀和，滚动数组否则炸内存

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N =5e4+10,mod=10007;
int n,m,a[N],sum[N];
bool cut[N],vis[N];
bool check(ll mid)
{
	ll tot=0,num=0;ll pre=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(num>m)return 0;
		if(pre+a[i]<=mid)pre+=a[i];
		else 
		{
			tot=max(tot,pre);
			pre=a[i];
			num++;
		}
	}
	tot=max(tot,pre);
	if(tot>mid||num>m)return 0;
	return 1;
}
ll len;
int f[N],rem[N],S[N];
int dp()
{
	int k=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(;k<i;k++)
		{
			if(sum[i]-sum[k]<=len)
			{
				rem[i]=k;
				break;
			}
		}
	int res=(sum[n]<=len);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
    	if(sum[i]<=len) f[i]=1;
    	S[i]=(S[i-1]+f[i])%mod;
    }
	for(int i=2;i<=m+1;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			f[j]=S[j-1];
			if(rem[j]-1>=0)
			{
				f[j]=((f[j]-S[rem[j]-1])%mod+mod)%mod;
			}
		}
		for(int j=1;j<=n;j++)
			S[j]=(S[j-1]+f[j])%mod;
		res=(res+f[n])%mod;
	}
	return res;
//	cout<<f[n]<<endl;
}
void fen(ll l,ll r)
{
	while(l<=r)
	{
		ll mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid))
		{
			r=mid-1;
			len=mid;
		}
		else
		{
			l=mid+1;
		}
	}
}
int main(){
	ios_base::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	int l=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		l=max(l,a[i]);
		sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	}
	fen(l,sum[n]);
	cout<<len<<" "<<dp()<<endl;
	return 0;
}
/*
3 1
2 4 3
*/