判断最小生成树是否唯一

我们知道在构造最小生成树的时候有可能会选择不同的边，这样构造的最小生成树不相同，但是最小生成树的权是唯一的！

毫无疑问，无向图中存在相同权值的边是最小生成树不唯一的必要条件（但不是充分条件）。正因为如此，如果无向图中各边的权值都不相同，那么在用Kruskal算法构造最小生成树时，选择的方案是唯一的。

这里给出判定最小生成树唯一的算法思路：

1.对图中的每一条边，扫描其他边，如果存在相同权值的边，则对此边做标记。

2.然后使用Kruskal（或者prim）算法求出最小生成树。

3.如果这时候的最小生成树没有包含未被标记的边，即可判定最小生成树唯一。如果包含了标记的边，那么依次去掉这些边，再求最小生成树，如果求得的最小生成树的权值和原来的最小生成树的权值相同，即可判断最小生成树不唯一。

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=11000;
const int M=15005;
int n,m,cnt;
int parent[N];
int flag;
struct edge
{
    int u;
    int v;//顶点
    int w;//权值
    int equals;//是否存在与该边权值相同的其他边
    int used;//在第一次求得的MST中是否包含该边。1包含，0不包含
    int del;//边是否删除的标志
} edg[N];
int  cmp(edge x,edge y)
{
    return x.w<y.w;
}
void init()
{
    int i;
    for(i=0; i<=N; i++)
    {
        parent[i]=i;
    }
}
int Find(int x)
{
    if(parent[x] != x)
    {
        parent[x] = Find(parent[x]);
    }
    return parent[x];
}//查找并返回节点x所属集合的根节点
void Union(int x,int y)
{
    x = Find(x);
    y = Find(y);
    if(x == y)
    {
        return;
    }
    parent[y] = x;
}//将两个不同集合的元素进行合并
int Kruskal()
{
    init();
    int sum=0;
    int num=0;
    for(int i=0; i<m; i++)
    {
        if(edg[i].del==1)
        {
            continue;
        }
        int u=edg[i].u;
        int v=edg[i].v;
        int w=edg[i].w;
        if(Find(u)!=Find(v))
        {
            sum+=w;
            if(flag)
            {
                edg[i].used=1;
            }
            num++;
            Union(u,v);
        }
        if(num>=n-1)
        {
            break;
        }
    }
    return sum;
}
int main()
{
    int t;
    int i,j;
    int counts1,counts2,flag2;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        counts1=0;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(i=0; i<m; i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&edg[i].u,&edg[i].v,&edg[i].w);
            edg[i].del=0;
            edg[i].used=0;
            edg[i].equals=0;//一开始这个地方eq没有初始化，WA了好几发
        }
        for(i=0; i<m; i++)//标记相同权值的边
        {
            for(j=0; j<m; j++)
            {
                if(i==j)
                {
                    continue;
                }
                if(edg[i].w==edg[j].w)
                {
                    edg[i].equals=1;
                }
            }
        }
        sort(edg,edg+m,cmp);
        flag=1;
        counts1=Kruskal();//第1次求MST
        flag=0;
        flag2=1;
        for(j=0; j<m; j++)
        {
            if(edg[j].used&&edg[j].equals)//在第一次MST中包含该边，并且该边具有权值相同的边
            {
                edg[j].del=1;//删除掉该边，进行第二次MST
                counts2=Kruskal();//printf("%d %d\n",i,s);
                if(counts2==counts1)
                {
                    flag2=0;
                    printf("Not Unique!\n");
                    break;
                }
                edg[j].del=0;//恢复被删掉的边
            }
        }
        if(flag2)
        {
            printf("%d\n",counts1);
        }
    }
    return 0;
}