欧拉回路基本概念+判断+求解
1.定义
2. 定理及推论
欧拉通路和欧拉回路的判定是很简单的，请看下面的定理及推论。
无向图G存在欧拉通路的充要条件是：
G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点。
推论1：
1) 当G是仅有两个奇度结点的连通图时，G的欧拉通路必以此两个结点为端点。
2) 当G是无奇度结点的连通图时，G必有欧拉回路。
3) G为欧拉图（存在欧拉回路）的充分必要条件是G为无奇度结点的连通图。
有向图D存在欧拉通路的充要条件是：
D为有向图，D的基图连通，并且所有顶点的出度与入度都相等；或者除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的出度与入度之差为-1。
推论2：
1) 当D除出、入度之差为1，-1的两个顶点之外，其余顶点的出度与入度都相等时，D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点，以出、入度之差为-1的顶点作为终点。
2) 当D的所有顶点的出、入度都相等时，D中存在有向欧拉回路。
3) 有向图D为有向欧拉图的充分必要条件是D的基图为连通图，并且所有顶点的出、入度都相等。
3.欧拉通路回路存在的判断
根据定理和推论，我们可以很好的找到欧拉通路回路的判断方法，定理和推论是来自离散数学的内容，这里就给出简明的判断方法：
A.判断欧拉通路是否存在的方法
有向图：图连通，有一个顶点出度大入度1，有一个顶点入度大出度1，其余都是出度=入度。
无向图：图连通，只有两个顶点是奇数度，其余都是偶数度的。
B.判断欧拉回路是否存在的方法
有向图：图连通，所有的顶点出度=入度。
无向图：图连通，所有顶点都是偶数度。
4.欧拉回路的应用
A.哥尼斯堡七桥问题
B.一笔画问题
C.旋转鼓轮的设计
5.欧拉回路的求解
A. DFS搜索求解欧拉回路
基本思路：利用欧拉定理判断出一个图存在欧拉回路或欧拉通路后，选择一个正确的起始顶点，用DFS算法遍历所有的边（每一条边只遍历一次），遇到走不通就回退。在搜索前进方向上将遍历过的边按顺序记录下来。这组边的排列就组成了一条欧拉通路或回路。
#include<cstdio> #include<stdio.h> #include<cstring> #include<algorithm> #define MAX 2010 using namespace std; int maps[MAX][MAX]; int in[MAX]; int t[MAX]; int flag; int k; int Max,Min; int DFS(int x) { int i; for(i=Min;i<=Max;i++) { if(maps[x][i])///从任意一个与它相连的点出发 { maps[x][i]--;///删去遍历完的边 maps[i][x]--; DFS(i); } } t[++k]=x;///记录路径，因为是递归所有倒着记 } int main() { int n,i,x,y; Max=-9999; Min=9999; flag=0; scanf("%d",&n); for(i=1;i<=n;i++) { scanf("%d%d",&x,&y); maps[x][y]++; maps[y][x]++; Max=max(x,max(y,Max)); Min=min(x,min(y,Min)); in[x]++; in[y]++; } for(i=Min;i<=Max;i++) { if(in[i]%2)///存在奇度点，说明是欧拉通路 { flag=1; DFS(i); break; } } if(!flag)///全为偶度点，从标号最小的开始找 { DFS(Min); } for(i=k;i>=1;i--) { printf("%d\n",t[i]); } return 0; }
B. Fleury(佛罗莱)算法
Fleury算法是对DFS爆搜的一种改进，使用DFS漫不经心的随意走是效率不高的，Fleury是一种有效的算法。
关键是能不走桥就不去走桥，实在无路可走了才去走桥！！！
#include <cstdlib> #include <cstring> #include <cstdio> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; int ans[200]; int top; int N,M; int mp[200][200]; void dfs(int x) { int i; top++; ans[top]=x; for (i=1; i<=N; i++) { if(mp[x][i]>0) { mp[x][i]=mp[i][x]=0;///删除此边 dfs(i); break; } } } void fleury(int x) { int brige,i; top=1; ans[top]=x;///将起点放入Euler路径中 while(top>=0) { brige=0; for (i=1; i<=N; i++) /// 试图搜索一条边不是割边（桥） { if(mp[ans[top]][i]>0)///存在一条可以扩展的边 { brige=1; break; } } if (!brige)/// 如果没有点可以扩展，输出并出栈 { printf("%d ", ans[top]); top--; } else /// 否则继续搜索欧拉路径 { top--;///为了回溯 dfs(ans[top+1]); } } } int main() { int x,y,deg,num,start,i,j; scanf("%d%d",&N,&M); memset(mp,0,sizeof (mp)); for(i=1;i<=M; i++) { scanf("%d%d",&x,&y); mp[x][y]=1; mp[y][x]=1; } num=0; start=1;///这里初始化为1 for(i=1; i<=N; i++) { deg=0; for(j=1; j<=N; j++) { deg+=mp[i][j]; } if(deg%2==1)///奇度顶点 { start=i; num++; } } if(num==0||num==2) { fleury(start); } else { puts("No Euler path"); } return 0; }
