青蛙的约会（扩展欧几里得）

Description

 

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

 

Input

 

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

 

Output

 

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

 

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

解题思路：首先根据题目中所给的信息建模，
两只青蛙跳t次之后碰面 （x + t * m) - (y + t * n) = k * L 
未知数为t和k 
移项合并后变为 (n-m)*t + k*L = x-y 
令 n-m=a 
   L=b 
   x-y =c 
则 a*t + b*k = c
这是一个两个未知数的不定方程
在这里我们所要求的便是t，并且是最小的非负数t，那么用什么方法呢？
扩展欧几里得!!!
a*x+b*y=gcd(a,b)!!!

利用扩展欧几里得算法求解不定方程a * x + b * y = c的整数解的求解全过程，步骤如下：

1、先计算Gcd(a,b)，若c不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = c'，此时Gcd(a',b')=1;

2、利用扩展欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则c' * x0,c' * y0是方程a' * x + b' * y = c'的一组整数解；

3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = c'的所有整数通解为：

x = c' * x0 + b' * t

y = c' * y0 - a' * t (t=0,1,2，……)

我们通过扩展欧几里得算出的x0只是一个特解，而我们需要的则是一个最小的特解，所以x0有两种可能：一种就是x0就是所求的结果，一种是x0大于所求的结果。对此我们的策略是通过x = c' * x0 + b' * t，令x=0，得到x最小时t的取值t0，这时候再改造通解公式x = c' * x0 - b' * t0，使用减号来替代加号是为了得到一个最小值。这时候得到的x可能是负值，那么就需要再加上一个周期b即可。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long int
using namespace std;
ll gcd(ll a,ll b)
{
    if(b==0)
    {
        return a;
    }
    else
    {
        gcd(b,a%b);
    }
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
}
int main()
{
    ll x,y,m,n,l,d,r,c,a,b,t,ans;
    ll xx,yy;
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
    a=n-m;
    b=l;
    c=x-y;
    d=gcd(a,b);
    if(c%d!=0)
    {
        printf("Impossible\n");
    }
    else
    {
        a=a/d;
        b=b/d;
        c=c/d;
        exgcd(a,b,xx,yy);
        t=c*xx/b;///方程的所有解x=c*xx+b*t,令x=0可以求出x最小时t的取值
            
        ans=c*xx-t*b;
        if(ans<0)
        {
            ans=ans+b;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}