逆序数
1.定义
在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
举个例子：
标准列是1 2 3 4 5
那么 5 4 3 2 1 的逆序数算法：
看第二个，4之前有一个5，在标准列中5在4的后面，所以记1个 类似的，
第三个 3 之前有 4 5 都是在标准列中3的后面，所以记2个 同样的，
2 之前有3个，
1之前有4个
将这些数加起来就是逆序数=1+2+3+4=10
再举一个 2 4 3 1 5
4 之前有0个
3 之前有1个
1 之前有3个
5 之前有0个
所以逆序数就是1+3=4
2.求法
1.朴素方法，两层循环，时间复杂度（O (n^2)）
1 int count=0; 2 for(i=0; i<n-1; i++) 3 { 4 for(j=i+1; j<n; j++) 5 { 6 if(a[i]>a[j]) 7 { 8 count++; 9 } 10 } 11 }
2.归并排序，时间复杂度（O(n log n)）
归并排序是将数列a[l,h]分成两半a[l,mid]和a[mid+1,h]分别进行归并排序，然后再将这两半合并起来。在合并的过程中（设l<=i<=mid，mid+1<=j<=h），当a[i]<=a[j]时，并不产生逆序数；当a[i]>a[j]时，在前半部分中比a[i]大的数都比a[j]大，将a[j]放在a[i]前面的话，逆序数要加上mid+1-i。因此，可以在归并排序中的合并过程中计算逆序数.
现在以6 1 7 2为例，我们以7 2这一块来说，归并排序中当7进入临时空间的时候，看看6 1这一块还剩下几个元素没有入临时空间，剩下的元素必定比7大，剩下的元素个数就是由于7产生的逆序对数目，同样地1产生的逆序对数目类似统计，同样，由于不同块之间互不影响，递归解决此问题。说的有点乱，但仔细想想是这个道理！！！！！
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 #define maxn 500010 5 #define ll long long int 6 using namespace std; 7 ll a[maxn]; 8 ll temp[maxn]; 9 ll sum; 10 void Merge(int l,int r,int m) 11 { 12 int i=l; 13 int j = m + 1; 14 int k = l; 15 while(i<=m&&j<=r) 16 { 17 if(a[i]>a[j]) 18 { 19 sum+=m-i+1;///剩下的没有进入临时空间的元素的个数 20 temp[k++]=a[j++]; 21 } 22 else 23 { 24 temp[k++]=a[i++]; 25 } 26 } 27 while(i<=m)///将剩余的元素存到数组中 28 { 29 temp[k++]=a[i++]; 30 } 31 while(j<=r) 32 { 33 temp[k++]=a[j++]; 34 } 35 for(i=l; i<=r; i++) 36 { 37 a[i]=temp[i]; 38 } 39 } 40 void mergesort(int l,int r) 41 { 42 if(l<r) 43 { 44 int m = (l + r) / 2; 45 mergesort(l,m);///左二分排序 46 mergesort(m+1,r);///右二分排序 47 Merge(l,r,m);///合并两个升序数组 48 } 49 } 50 int main() 51 { 52 int n,i; 53 while(scanf("%d",&n)!=EOF) 54 { 55 if(n==0) 56 { 57 break; 58 } 59 for(i=0; i<n; i++) 60 { 61 scanf("%lld",&a[i]); 62 } 63 sum=0; 64 mergesort(0,n-1); 65 printf("%lld ",sum); 66 } 67 return 0; 68 }
3.树状数组
由于树状数组的特性，求和是从当前节点往前求，所以，这里要查询插入当前数值之时，要统计有多少个小于该数值的数还没插入，这些没插入的数，都会在后面插入，也就形成了逆序数。
假设我们将 序列 6 1 2 7 3 4 8 5 存入数组a【】 中， a【1】=6 ， a【2】=1...
那么每次，我们可以将 a【i】 插入到 树状数组中，并赋值为 1， 我们求和sum，sum 是1 到 a【i】的和 ， 那么这个 sum 表示的值就是当前比a【i】小的数量（包括它本身）；而当前一共有 i 个数 ， 所以 当前 比a【i】大的数量就是 i - sum；所以 我们统计所有的 i - sum ， 它们的和就是逆序数。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 using namespace std; 6 #define LL long long 7 #define N 1005*1005 8 LL ans; 9 int a[N]; 10 int n,c[N]; 11 int lowbit(int x) 12 { 13 return x&-x; 14 } 15 int Getsum(int x) 16 { 17 int ret = 0; 18 while(x>0) 19 { 20 ret+=c[x]; 21 x-=lowbit(x); 22 } 23 return ret; 24 } 25 26 void add(int x,int d) 27 { 28 while(x<=n) 29 { 30 c[x]+=d; 31 x+=lowbit(x); 32 } 33 } 34 int main() 35 { 36 int i,j,k,l,r,t; 37 scanf("%d",&n); 38 memset(c,0,sizeof(c)); 39 for(i = 1; i<=n; i++) 40 { 41 scanf("%d",&a[i]); 42 } 43 ans = 0; 44 for(i = 1; i<=n; i++) 45 { 46 add(a[i],1);///这里将从c[i]赋值为1更像是一种存在，1代表着存在，0不存在 47 ans+=i-Getsum(a[i]); 48 } 49 printf("%lld\n",ans); 50 return 0; 51 }
4.线段树
用线段树来求逆序数的思路关键在于，线段树是维护一个区间的，所以，对于这种连续区间求逆序数，完全可以判断当插入一个新的数字时，若比它大的数字已经插入了，说明排在了它的前面，也就是产生了这些逆序数。其实线段树与树状数组只是两种不同的数据结构，但在逆序对的处理上二者其实是相同的，树状数组有Getsum（）函数求1 到 a【i】的和，而线段树则可以使用Query（）来查询。
1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 #include <stdlib.h> 4 #define MAX 51000 5 #define MID(a,b) (a+b)>>1 6 #define R(a) (a<<1|1) 7 #define L(a) a<<1 8 typedef struct 9 { 10 int num,left,right; 11 } Node; 12 int ans[MAX]; 13 Node Tree[MAX<<2]; 14 int n; 15 void Build(int t,int l,int r) //以1为根节点建立线段树 16 { 17 int mid; 18 Tree[t].left=l,Tree[t].right=r; 19 if(Tree[t].left==Tree[t].right) 20 { 21 Tree[t].num=0; 22 return ; 23 } 24 mid=MID(Tree[t].left,Tree[t].right); 25 Build(L(t),l,mid); 26 Build(R(t),mid+1,r); 27 } 28 29 void Insert(int t,int l,int r,int x) //向以1为根节点的区间[l,r]插入数字1 30 { 31 int mid; 32 if(Tree[t].left==l&&Tree[t].right==r) 33 { 34 Tree[t].num+=x; 35 return ; 36 } 37 mid=MID(Tree[t].left,Tree[t].right); 38 if(l>mid) 39 { 40 Insert(R(t),l,r,x); 41 } 42 else if(r<=mid) 43 { 44 Insert(L(t),l,r,x); 45 } 46 else 47 { 48 Insert(L(t),l,mid,x); 49 Insert(R(t),mid+1,r,x); 50 } 51 Tree[t].num=Tree[L(t)].num+Tree[R(t)].num; 52 } 53 int Query(int t,int l,int r) //查询以1为根节点，区间[l,r]的和 54 { 55 int mid; 56 if(Tree[t].left==l&&Tree[t].right==r) 57 return Tree[t].num; 58 mid=MID(Tree[t].left,Tree[t].right); 59 if(l>mid) 60 { 61 return Query(R(t),l,r); 62 } 63 else if(r<=mid) 64 { 65 return Query(L(t),l,r); 66 } 67 else 68 { 69 return Query(L(t),l,mid)+Query(R(t),mid+1,r); 70 } 71 } 72 int main() 73 { 74 int a,n,i,t; 75 scanf("%d",&t); 76 long long int k; 77 while(t--) 78 { 79 scanf("%d",&n); 80 memset(Tree,0,sizeof(Tree)); //初始化线段树 81 Build(1,1,n); 82 for(i=1; i<=n; i++) //输入n个数 83 { 84 scanf("%d",&ans[i]); 85 } 86 for(i=1,k=0; i<=n; i++) 87 { 88 a=ans[i]; 89 Insert(1,a,a,1); //把线段树[ans[i],ans[i]]区间的值插入为1 90 k=k+(i-Query(1,1,a)); //查询区间[1,ans[i]]值的总和,逆序数等于i-[1,ans[i]] 91 } 92 printf("%lld\n",k); 93 } 94 return 0; 95 }
