杨辉三角与二项式定理

这篇博客主要参考刘汝佳的《算法竞赛入门经典》。

下面是一个杨辉三角：

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

    我们再把(a+b)ⁿ展开，将得到一个关于x的多项式：
      (a+b)⁰ = 1
     (a+b)¹ = a + b
     (a+b)² = a² + 2ab + b²
     (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
     (a+b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
     ……

    系数正好和杨辉三角一致。一般地，我们有二项式定理：

这个不难理解：(a+b)ⁿ是n个括号连乘，每个括号里任选一项乘起来都会对最后的结果又一个贡献。如果选了k个a，就一定会选n-k个b，最后的项自然是a^n-kb^k。而n个a中选k个（同时也相当于n个b里选n-k个)有C^k_n，这就是组合数的定义。

  

给定n，如何求出(a+b)ⁿ所有项的系数呢？一个方法是递推，根据杨辉三角中不难发现的规律，可写出以下程序：

 

memset(c, 0, sizeof(c));
for(i = 0; i <= n; i++)
{
    c[i][0] = 1;
    for(j = 1; j <=n; j++) 
    {
        c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j];
    }
}

 

但遗憾的是，这个算法的时间复杂度是O(n²)，尽管只用了杨辉三角的第n行的n+1个元素，但是却把全部n行的O（n²）个元素都计算了一遍。

 

另一个方法是利用等式

 

 

c[0]=1;
for(i = 1; i <= n; i++) 
{
    c[i] = c[i-1]*(n-i+1)/i;
}

 

 注意，先乘后除，因为c[i-1]/i可能不是整数。但这样一来增加了溢出的可能性——即结果可能在int或long long 范围之外，乘法也可能溢出。如果担心这样的情况发生，可以先约分，不过一般来说是不必要的。