错位排列

问题： 十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？

 

这个问题推广一下，就是错排问题，是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。

 

错排问题最早被尼古拉·伯努利和欧拉研究，因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本，如在写信时将n封信装到n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况？又比如四人各写一张贺年卡互相赠送，有多少种赠送方法？自己写的贺年卡不能送给自己，所以也是典型的错排问题。

 

——摘自百度百科

 

 

递推公式

当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.

 

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：

⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；

⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法；

综上得到

 

D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]

特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.

下面通过这个递推关系推导通项公式：

 

为方便起见，设D(k) = k! N(k), k = 1, 2, …, n,

则N(1) = 0, N(2) = 1/2.

n ≥ 3时，n! N(n) = (n-1) (n-1)! N(n-1) + (n-1)! N(n-2)

即 nN(n) = (n-1) N(n-1) + N(n-2)

于是有N(n) - N(n-1) = - [N(n-1) - N(n-2)] / n = (-1/n) [-1/(n-1)] [-1/(n-2)]…(-1/3) [N(2) - N(1)] = (-1)^n / n!.

因此

N(n-1) - N(n-2) = (-1)^(n-1) / (n-1)!,

N(2) - N(1) = (-1)^2 / 2!.

相加，可得

N(n) = (-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1) / (n-1)! + (-1)^n/n!

因此

D(n) = n! [(-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n!].

此即错排公式。

 

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在这里我还看到了一种对递推公式其他的理解：

 

一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？

分析：
假设有信封A,B,C,D...；信件1,2,3,4...；全部装错有f(n)种情况。


这里分两种情况考虑:①前面n-1个信封全部装错；②前面n-1个信封有一个没有装错其余全部装错。
①前面n-1个信封全部装错：因为前面n-1个已经全部装错了，所以第n封只需要与前面任一一个位置交换即可，总共有f(n-1)*(n-1)种情况。

②前面n-1个信封有一个没有装错其余全部装错：为什么考虑这种情况，因为n-1个信封中如果有一个没装错，那么我们把那个没装错的与n交换，即可得到一个全错位排列情况。
得到这种情况的种数也很简单，即是忽略掉那个没装错的情况去排列其他的信封的全错排种数f(n-2)*(n-1)。

 

综上，f(n)=f(n-1)*(n-1)+f(n-2)*(n-1)=(n-1)*(f(n-1)+f(n-2));

 

 

 

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例题：

国庆期间,省城HZ刚刚举行了一场盛大的集体婚礼,为了使婚礼进行的丰富一些,司仪临时想出了有一个有意思的节目,叫做"考新郎",具体的操作是这样的:
  首先,给每位新娘打扮得几乎一模一样,并盖上大大的红盖头随机坐成一排; 然后,让各位新郎寻找自己的新娘.每人只准找一个,并且不允许多人找一个. 最后,揭开盖头,如果找错了对象就要当众跪搓衣板...
看来做新郎也不是容易的事情...
假设一共有N对新婚夫妇,其中有M个新郎找错了新娘,求发生这种情况一共有多少种可能.

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C行数据，每行包含两个整数N和M(1<M<=N<=20)。
Output

对于每个测试实例，请输出一共有多少种发生这种情况的可能，每个实例的输出占一行。
Sample Input

2
2 2
3 2

Sample Output

1
3

错排：有n对新婚夫妇，对应新娘在（1-n）n个位置上，让各位新郎寻找自己的新娘，全部找错共有多少种找法，记n个元素的错排总数为f(n)假设有n个新郎，第一个新郎可找  2-n   的任一个位置，共n-1种找法

设第一个新郎找到了第 k 个位置，若此时第 k 个新郎正好找到了第 1 个位置，则只要将剩下的 n-2 错排，即f (n-2)，就能实现全错排，若第k个新郎没有找到第1个位置，则将 n-1 个位置错排，即为f(n-1)

由递推可得,f(n)=(n-1)*(f(n-1)+f(n-2))

 N个新郎找出M个新郎找错新娘，我们需要用到排列组合在 N 个新郎中选出是哪 M 个新娘，就是C(n,m)=n!/m!/(n-m)!

用该组合数再去乘错位排列数就是该结果

 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long int
using namespace std;
ll f[30];
ll c[30];
int main()
{
    ll n,m,t,i,ans;
    f[1]=0;
    f[2]=1;
    for(i=3;i<=30;i++)///错排
    {
        f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2]);
    }
    c[0]=1;
    c[1]=1;
    for(i=2;i<=30;i++)///求前i项阶乘之和
    {
        c[i]=c[i-1]*i;
    }
    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        ans=c[n]/(c[m]*c[n-m]);
        printf("%lld\n",ans*f[m]);
    }
}

 

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Problem Description

HDU 2006'10 ACM contest的颁奖晚会隆重开始了！
为了活跃气氛，组织者举行了一个别开生面、奖品丰厚的抽奖活动，这个活动的具体要求是这样的：

首先，所有参加晚会的人员都将一张写有自己名字的字条放入抽奖箱中；
然后，待所有字条加入完毕，每人从箱中取一个字条；
最后，如果取得的字条上写的就是自己的名字，那么“恭喜你，中奖了！”

大家可以想象一下当时的气氛之热烈，毕竟中奖者的奖品是大家梦寐以求的Twins签名照呀！不过，正如所有试图设计的喜剧往往以悲剧结尾，这次抽奖活动最后竟然没有一个人中奖！
我的神、上帝以及老天爷呀，怎么会这样呢？
不过，先不要激动，现在问题来了，你能计算一下发生这种情况的概率吗？
不会算？难道你也想以悲剧结尾？！

 

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(1<n<=20),表示参加抽奖的人数。

Output

对于每个测试实例，请输出发生这种情况的百分比，每个实例的输出占一行, 结果保留两位小数(四舍五入)，具体格式请参照sample output。

Sample Input

1 2

Sample Output

50.00%

 

 

没有人能够获奖说明每个人都拿到的不是带有自己名字的字条，与信封问题一样是错位排列，求最后的概率等于错位排序的排列个数/所有可能的排列个数。

#include<stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main()
{
    long long f[21]= {0};//定义不超过21的长整型数组用来存放错误的抽取
    f[1]=0;
    f[2]=1;
    for(int i=3; i<21; i++)
        f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2]);//递推求值
    int C;
    scanf("%d",&C);
    while(C--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        long long sum=1;
        for(int j=2; j<=n; j++)
            sum*=j;//求阶乘，表示的是所有的抽取方法
        double b=100.0*f[n]/sum;
        printf("%.2f%%\n",b);
    }
    return 0;
}