扩展欧几里得与乘法逆元

一。欧几里得算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

递归实现：

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    return 
        gcd(b,a%b);
}

优化

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    return 
        gcd(b,a%b);
}

迭代实现

int Gcd(int a, int b)
{
    while(b != 0)
    {
    　　int r = b;
    　　b = a % b;
    　　a = r;
    }
    return a;
}

二.扩展欧几里德算法

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

我们观察到：欧几里德算法停止的状态是： a= gcd ， b = 0 ，那么，这是否能给我们求解 x y 提供一种思路呢？因为，这时候，只要 a = gcd 的系数是 1 ，那么只要 b 的系数是 0 或者其他值（无所谓是多少，反正任何数乘以 0 都等于 0 但是a 的系数一定要是 1），这时，我们就会有： a*1 + b*0 = gcd

当然这是最终状态，但是我们是否可以从最终状态反推到最初的状态呢？

假设当前我们要处理的是求出 a 和 b的最大公约数，并求出 x 和 y 使得 a*x + b*y= gcd ，而我们已经求出了下一个状态：b 和 a%b 的最大公约数，并且求出了一组x1 和y1 使得： b*x1 + (a%b)*y1 = gcd ， 那么这两个相邻的状态之间是否存在一种关系呢？

我们知道： a%b = a - (a/b)*b（这里的 “/” 指的是整除，例如 5/2=2 , 1/3=0），那么，我们可以进一步得到：

        gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

               = b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1

               = a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)

    对比之前我们的状态：求一组 x 和 y 使得：a*x + b*y = gcd ，是否发现了什么？

    这里：

        x = y1

        y = x1 – a/b*y1

    以上就是扩展欧几里德算法的全部过程，依然用递归写：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return ans;
}

这就是理论部分，欧几里德算法部分我们好像只能用来求解最大公约数，但是扩展欧几里德算法就不同了，我们既可以求出最大公约数，还可以顺带求解出使得：

a*x + b*y = gcd 的通解 x 和 y

扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：

（1）求解不定方程；

（2）求解模线性方程（线性同余方程）；

（3）求解模的逆元；

其中扩展欧几里得算法一个重要的应用在求解形如 a*x +b*y = c 的特解，比如一个数对于另一个数的乘法逆元

 

三。乘法逆元

什么叫乘法逆元？

    

    这里，我们称 x 是 a 关于 m 的乘法逆元

    这怎么求？这里我们利用扩展欧几里得算法，等价为： a*x + m*y = 1

    我们发现当gcd(a , m) != 1 的时候是没有解的，这也是 a*x + b*y = c 有解的充要条件： c % gcd(a , b) == 0

    一般，我们能够找到无数组解满足条件，但是一般是让你求解出最小的那组解，怎么做？我们求解出来了一个特殊的解 x0 那么，我们用 x0 % m其实就得到了最小的解了。为什么？

可以这样思考：

     x 的通解不是 x0 + m*t 吗？

    那么，也就是说， a 关于 m 的逆元是一个关于 m 同余的，那么根据最小整数原理，一定存在一个最小的正整数，它是 a 关于m 的逆元，而最小的肯定是在（0 , m）之间的，而且只有一个，这就好解释了。

    但是，由于问题的特殊性，有时候我们得到的特解 x0 是一个负数，还有的时候我们的 m 也是一个负数这怎么办？

    当 m 是负数的时候，我们取 m 的绝对值就行了，当 x0 是负数的时候，x0% m 的结果仍然是负数（在计算机计算的结果上是这样的，虽然定义的时候不是这样的），这时候，我们仍然让 x0 对abs(m) 取模，然后结果再加上abs(m) 就行了，于是，我们不难写出下面的代码求解一个数 a 对于另一个数 m 的乘法逆元：

 

int cal(int a,int m)
{
    int x,y,ans,gcd;
    gcd=exgcd(a,m,x,y);
    if(1%gcd!=0)///无解
    {
        return -1;
    }
    x=x*1/gcd;
    m=abs(m);
    ans=x%m;
    if(ans<=0)
    {
        ans=ans+m;
    }
    return ans;
}

 

 

这里给出一道例题作为乘法逆元的模板

给出2个数M和N(M < N)，且M与N互质，找出一个数K满足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多个满足条件的，输出最小的。

 Input

输入2个数M, N中间用空格分隔（1 <= M < N <= 10^9)

Output

输出一个数K，满足0 < K < N且K * M % N = 1，如果有多个满足条件的，输出最小的。

Sample Input

2 3

Sample Output

2

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)///递归结束条件
    {
        x=1;
        y=0;
        return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
}

int main()
{
    int n,m;
    int x,y;
    scanf("%d%d", &m,&n);
    exgcd(m,n,x,y);
    while(x<0)
    {
        x=x+n;
    }
    printf("%d\n",x);
    return 0;
}