欧拉函数知识点总结及欧拉函数打表代码（数论）

一、概念：

　　在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。

　　例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

　　欧拉函数用希腊字母φ表示,φ(N)表示N的欧拉函数.

　　对φ(N)的值,我们可以通俗地理解为小于N且与N互质的数的个数(包含1).

　（初学者一定注意：此处的欧拉函数与图论中的欧拉回路、欧拉公式不同，欧拉大神这一辈子著作等身啊）。

对于互质的理解：

互质数为数学中的一种概念，即两个或多个整数的公因数只有1的非零自然数。公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。 

互质数具有以下定理：

（1）两个数的公因数只有1的两个非零自然数,叫做互质数；举例：2和3，公因数只有1，为互质数；

（2）多个数的若干个最大公因数只有1的正整数，叫做互质数；

（3）两个不同的质数，为互质数；

（4）1和任何自然数互质。两个不同的质数互质。一个质数和一个合数，这两个数不是倍数关系时互质。不含相同质因数的两个合数互质；

（5）任何相邻的两个数互质；（必为一奇一偶）

（6）任取出两个正整数他们互质的概率（最大公约数为一）为6/π^2。

 

二、通式：

 

 　　

　　其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。

       φ(1) = 1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如 12 = 2*2*3 那么      φ(12) = 12 * (1-1/2) * (1-1/3)=4  )

       若 n = p^k  (  p为 质数 )，则 φ(n) = p^k-p^(k-1) = (p-1)p^(k-1)，（ 除 p 的倍数外，其他数均为 p 的互质数 ）。

       若n = p（ p 为质数），则  φ(n) = p-p^(1-1) = p-1。

三、性质：

(1)   p^k型欧拉函数:

若N是质数p(即N=p), φ(n)= φ(p)=p-p^(k-1)=p-1。

若N是质数p的k次幂(即N=p^k)，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)。

(2)mn型欧拉函数

设n为正整数，以φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值。若m,n互质，φ(mn)=(m-1)(n-1)=φ(m)φ(n)。

(3)特殊性质:

若n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。

对于任何两个互质 的正整数a,n(n>2)有:a^φ(n)=1 mod n (恒等于)此公式即 欧拉定理

当n=p 且 a与素数p互质(即:gcd(a,p)=1)则上式有: a^(p-1)=1 mod n (恒等于)此公式即 费马小定理

四、模板

1.直接求小于或等于n,且与n互质的个数:

int  eular(int n)
{
    int i,ret=n;
    for(i=2; i<=sqrt(n); i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ret=ret/i*(i-1);///这里先使用除法是为了防止溢出，ret=ret*(1-1/p(1))
            while(n%i==0)///为了完全消除我们已经除完了刚才得到的那个i因子,确保下一个得到的i是n的素因子
            {
                n/=i;
            }
        }
    }
    if(n>1)///可能还剩下一个素因子没有除 
    {
        ret=ret/n*(n-1);
    }
    return ret;
}

 

2.筛选模板:求[1,n]之间每个数的质因数的个数

 

如果我们要求的数比较多，如果一个一个求那么很容易就超时，所以我们自然而然就想到——打表。

如果我们依照上述思想，来个最朴素的打表。

void euler()
{
    p[1]=1;
    for(int i=2; i<=MAXN; i++)
    {
        int n=i;
        p[i]=i;
        for(int j=2; j<=sqrt(n); j++)
        {
            if(n%j==0)
            {
                p[i]=p[i]/j*(j-1);
                while(n%j==0)
                {
                    n=n/j;
                }
            }
        }
        if(n>1)
        {
            p[i]=p[i]/n*(n-1);
        }
    }
    for(int i=2; i<MAXN; i++)
    {
        p[i]+=p[i-1];
    }
}

但是这种打表方法还是不太理想，效率不是太高，下面给出两种改进后的算法。

 

对于这种打表方法，我开始不是很明白，网络上也没有比较完全的说明，下面给出一些我自己的理解。

之前的打表方式是枚举每个数，再去找每个数的质因子，由于有一些数有相同的质因子，无疑会增大时间复杂度。在这里我们选择去枚举素因子，素因子可是少很多。比如素因子是2，那么我们便能求出那些含有2这个素因子的一些数的欧拉函数，例如2,4,8,10......当然像10,12,20,这样的数不仅仅只含有2这一个素因子，我们先欧拉函数的通式先求出一部分来，之后枚举其他素因子的时候再次计算，也就跳过了if(!euler[j])。同时下次需要枚举的数将会是避开已经求出来或者部分求出来（例如2下的10,12，20）数，作为一个新的素因子再次进入循环。

是不是有点像筛法求素数的思路。。。。

#define size 1000001
int euler[size];
void Init()
{
    euler[1]=1;
    for(int i=2; i<size; i++)
    {
        if(!euler[i])
        {
            for(int j=i; j<size; j+=i)
            {
                if(!euler[j])
                {
                    euler[j]=j;
                }
                euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出
            }
        }
    }
}