并查集(Union/Find)模板及详解

概念：

　　并查集是一种非常精巧而实用的数据结构，它主要用于处理一些不相交集合的合并问题。一些常见的用途有求连通子图、求最小生成树的Kruskal 算法和求最近公共祖先等。

操作：

　　并查集的基本操作有两个：

　　Union(x, y)：把元素x 和元素y 所在的集合合并，要求x 和y 所在的集合不相交，如果相交则不合并。

　　Find(x)：找到元素x 所在的集合的代表，该操作也可以用于判断两个元素是否位于同一个集合，只要将它们各自的代表比较一下就可以了。

实现：　　

 　　并查集的实现原理也比较简单，就是使用树来表示集合，树的每个节点就表示集合中的一个元素，树根对应的元素就是该集合的代表，如下图所示。

 

 

　　图中有两棵树，分别对应两个集合，其中第一个集合为 {a,b,c,d}，代表元素是 a；第二个集合为 {e,f,g}，代表元素是 e。

 

　　树的节点表示集合中的元素，指针表示指向父节点的指针，根节点的指针指向自己，表示其没有父节点。沿着每个节点的父节点不断向上查找，最终就可以找到该树的根节点，即该集合的代表元素。

 

　　假设使用一个足够长的数组来存储树节点（很类似之前讲到的静态链表），即父节点是其自身：

 

 

 

 

　　接下来，就是find 操作了，如果每次都沿着父节点向上查找，那时间复杂度就是树的高度，完全不可能达到常数级。这里需要应用一种非常简单而有效的策略——路径压缩。

优化：

　　路径压缩，就是在每次查找时，令查找路径上的每个节点都直接指向根节点，如图所示。

 

　　最后是合并操作Union，并查集的合并也非常简单，就是将一个集合的树根指向另一个集合的树根，如图所示。

　　这里也可以应用一个简单的启发式策略——按秩合并。该方法使用秩来表示树高度的上界，在合并时，总是将具有较小秩的树根指向具有较大秩的树根。简单的说，就是总是将比较矮的树作为子树，添加到较高的树中。为了保存秩，需要额外使用一个与uset 同长度的数组，并将所有元素都初始化为0。（不常用，可以与路径压缩一起写）

 

模板：

#include<iostream>
#include<stack>
#include<queue>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
int pre[1010];
int rank[1010];
int Find(int x)//使用递归写find函数，同时有路径压缩
{

    /*if(x!=pre[x])//递归查找前导点
    {
        pre[x]=find(pre[x]);
    }
    return pre[x];*/
    int a;
    a=x;
    while(pre[a]!=a)///循环方法查找前导点
    {
        a=pre[a];
    }
    int i=x,j;
    while(i!=a)///路径压缩
    {
        j=pre[i];///记录x的前导结点
        pre[i]=a;///将i的前导结点设置为r的根节点.
        i=j;
    }
    return a;

}
void Union(int x,int y)
{
    int a,b;
    a=Find(x);///x的根节点为a
    b=Find(y);///y的根节点为b
    if(a!=b)///如果a,b不是相同的根节点，则说明ab不是连通的
    {
        pre[a]=b;///将a,b连接，将a的前导点设置为b
    }
}
int main()
{
    int m,n;
    while(1)
    {
        cin>>n;
        if(n==0) break;
        cin>>m;
        for(int i=1; i<=n; i++)//初始化数组
        {
            pre[i]=i;
            rank[i]=0;
        }
        int x,y;
        for(int i=0; i<m; i++)
        {
            cin>>x>>y;
            Union(x,y);
        }
        int sum=0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            if(pre[i]==i)
                sum++;
        }
        cout<<sum-1<<endl;
    }
    return 0;
}