自适应模糊神经网络ANFIS

最早关于自适应模糊神经网络推理系统( Adaptive Neuro Fuzzy Inference System，ANFIS)的文章应该是Jyh-Shing Roger Jang 于1993年发表的《ANFIS : Adaptive-Network-Based Fuzzy Inference System》这篇文章。当时对于处理模糊不确定系统，使用传统数学工具的系统建模并不能得到令人满意的效果。考虑采用模糊if-then规则的模糊推理系统不需要精确的定量分析就可以对人的知识和推理过程进行定性建模，作者提出了一种基于自适应网络的模糊推理系统。

ANFIS将模糊控制的模糊化、模糊推理和反模糊化3个基本过程全部用神经网络来实现，利用神经网络的学习机制自动地从输入输出样本数据中抽取规则，构成自适应神经模糊控制器。它的模型结构由自适应网络和模糊推理系统合并而成，在功能上继承了模糊推理系统的可解释性的特点以及自适应网络的学习能力，能够根据先验知识改变系统参数，使系统的输出更贴近真实的输出。

该系统运用神经网络的信息储存与自学习能力对多类自变量数据进行机器学习，并对模糊信息完成模糊推理功能，能够自动产生并更正输入与输出变量的隶属度函数，产生最优的模糊规则。ANFIS克服了单纯神经网络的黑匣子特性与模糊推理过程中推理规则的不全面性、粗糙性，比一般 BP 神经网络训练更快速，同时还具有模糊系统简洁、快速的特点。

介绍自适应模糊推理系统（ANFIS）模型前，先简单说一下模糊推理系统（FIS）以及自适应网络。

模糊推理系统（FIS）

FIS由五个功能模块组成：
1）包含若干模糊if-then规则的规则库；
2）定义关于使用模糊if-then规则的模糊集的隶属函数的数据库；
3）在规则上的执行推理操作的决策单元；
4）将明确输入转化为与语言价值匹配的程度的模糊界面；
5）将推理得到的模糊结果转化为明确输出的去模糊界面。
通常，1、2被联合称为知识库。FIS结构图如下：

自适应网络

自适应网络是一个由节点和连接节点的定向链路组成的多层前馈网络，其中每个节点对传入的信号以及与此节点相关的一组参数执行一个特定的功能(节点函数)。自适应网络的结构中包含有参数的方形节点和无参数的圆形节点，自适应网络的参数集是每个自适应节点的参数集的结合。他们的输出依赖于这些节点相关的参数，学习规则指定如何更改这些参数。
一种自适应网络结构如下图所示：

ANFIS模型结构

ANFIS的模型结构由自适应网络和模糊推理系统合并而成，在功能上继承了模糊推理系统的可解释性的特点以及自适应网络的学习能力，能够根据先验知识改变系统参数，使系统的输出更贴近真实的输出。一种ANFIS结构图如下：

ANFIS 模型计算主要采用 Takagi-Sugeno 模糊模型，假设该模型拥有 x，y 两个输入量与 z 一个输出量，形成 2 个 if-then 语言规则，公式为:

规则1：$\text { if } x=A_{1} \quad y=B_{1} \text {, then } f_{1}=p_{1} x+q_{1} y+r_{1}$

规则2：$\text { if } x=A_{2} \quad y=B_{2} \text {, then } f_{2}=p_{2} x+q_{2} y+r_{2}$

式中: $f_i$ 为规则 i 所对应的输出结果; $A_1$，$B_1$为规则 i 对应的非线性参数; $p_1$，$q_1$，$r_1$ 为规则 1 的结论参数， $p_2$，$q_2$，$r_2$ 为规则 2 的结论参数。 x，y 两个输入量形成的 ANFIS 模型计算结构如下图所示，共包含 5 层结构，前3层为规则前件，后2层为规则后件。每层结构功能及计算公式为:

第一层( 输入层) ，将输入变量模糊化，转换为不同模糊集的隶属度。公式为:

$Q_{i}^{1}=\mu A_{i}(x) \quad i=1,2$

$Q_{i}^{1}=\mu B_{i-2}(x) \quad i=3,4$

式中: i为节点; x，y 分别表示节点 i的输入变量; $\mu A_{i}(x)$ ，$\mu B_{i}(y)$为 x，y 输入变量的隶属函数; $Q_{i}^{1}$为第一层 i节点对应的隶属度值。

第二层: 计算各模糊规则的触发强度，由不同模糊集的隶属度相乘所得。公式为:

$Q_{i}^{2}=w_{i}=\mu A_{i}(x) \times \mu B_{j}(y)$

第三层: 将第二层所得的触发强度归一化，为 第 i 个规则在所有规则库中的触发比值，即在整个推理过程中使用到第 i 个规则的程度。计算公式为:

$Q_{i}^{3}=\bar{w}_{i}=\frac{w_{i}}{\left(w_{1}+w_{2}\right)}$

第四层: 计算规则输出。公式为:

$Q_{i}^{4}=\bar{w}_{i} f_{i}=\bar{w}_{i} (p_{i} x+q_{i} y+r_{i})$

第五层: 去模糊化，得到确切的输出。计算公式为每条规则的结果加权平均（权重为规则的归一化触发程度，理解为计算期望），即:

$Q_{i}^{5}=\sum_{i} \bar{w}_{i} f_{i}=\frac{\sum_{i} w_{i} f_{i}}{\sum_{i} w_{i}}$