如何理解卷积？

一、两个随机变量的函数分布

卷积这个概念最早是在概率论两个随机变量函数分布中引入的

 

教科书上通常会给出定义，给出很多性质，也会用实例和图形进行解释，但究竟为什么要这么设计，这么计算，背后的意义是什么，往往语焉不详。

我们的疑惑点在于卷积公式到底是怎么卷的，怎么积的？

直接从数学公式上推测，先对f_y函数进行翻转，相当于在数轴上把f_y函数从右边褶到左边去，也就是卷积的“卷”的由来。

然后再把f_y函数平移到z，在这个位置对两个函数的对应点相乘，然后相加，这个过程是卷积的“积”的过程。当然，还是很难想象这个过程，这里推荐花费一点时间观看一下

这样看来 所谓两个函数的卷积，本质上就是先将一个函数翻转，然后进行滑动叠加。

二、卷积在图像处理上的应用

这里举我比较熟悉的计算机图形学上进行图像平滑处理的例子。内容转载自 https://www.matongxue.com/madocs/32.html

1 原理

有这么一副图像，可以看到，图像上有很多噪点：

高频信号，就好像平地耸立的山峰：

看起来很显眼。

平滑这座山峰的办法之一就是，把山峰刨掉一些土，填到山峰周围去。用数学的话来说，就是把山峰周围的高度平均一下。

平滑后得到：

2 计算

卷积可以帮助实现这个平滑算法。

有噪点的原图，可以把它转为一个矩阵：

然后用下面这个平均矩阵（说明下，原图的处理实际上用的是正态分布矩阵，这里为了简单，就用了算术平均矩阵）来平滑图像：

记得刚才说过的算法，把高频信号与周围的数值平均一下就可以平滑山峰。

比如我要平滑点，就在矩阵中，取出点附近的点组成矩阵，和进行卷积计算后，再填回去：

要注意一点，为了运用卷积，虽然和同维度，但下标有点不一样：

我用一个动图来说明下计算过程：

写成卷积公式就是：

要求，一样可以套用上面的卷积公式。

这样相当于实现了这个矩阵在原来图像上的划动（准确来说，下面这幅图把矩阵旋转了）：