线性代数的本质(6)——逆矩阵、列空间及零空间

我们将线性方程组转化为一个向量方程组(注：在此主要考虑方程的个数与未知数的个数相等的情况)：

对于该线性方程组 ，我们可以通过“高斯消元”等方式来计算，同样地可采用计算机方法来进行计算。而我们强调的是如何以“线性变换”的观点来看“逆矩阵、列空间、秩与零空间”。

 

6.1 逆变换 （ )

,意味着我们寻找一个向量，使得经过线性变换后与向量 重合。

该方程的解依赖于矩阵 代表的线性变换：

6.1.1 什么是逆变换？

当 ，还保持原来的空间维度,意味着空间没有挤压，这种情况下，有且仅有一个向量使得变换后与向量 重合。这样我们就可以通过逆向变换找到这个向量。

我们通过追踪向量 的变化使得与向量 重合，向量 的变化我们称为逆变换时，实际上进行了另外一个线性变换，将其记为逆矩阵 .

逆变换的几何意义

事实上经过这个逆变换，就使得当前的向量回到变换前最初的状态。

感受一下逆变换中的特例：

• 将坐标轴逆时针旋转90，对应的逆变换就是将坐标轴顺时针旋转90°

• 剪切变换是向右压缩了空间，对应的逆变换就是就是向左进行空间变换

6.1.2 用线性变换求解方程组

这种情况下，我们看一下如何求解未知向量 ？

可以看出，线性变换 不对空间进行挤压，

6.1.3 逆变换的性质（与恒等变换相关）

• ，变换 及变换 的相继作用，相当于矩阵乘法，作用效果就相当于什么都没有做，我们称这样的变换为“恒等变换”
• 

6.2 逆变换不存在的情况

当 ,这就意味着将空间挤压到更低维的空间，压缩后的体积为0，这时候对应的逆变换是不存的。

(此时我们考虑二维)因为我们不能将一条直线“解压缩”为一个平面。至少没有一个函数可以这样,这样就会将一个单独的向量变换为一整条线的向量，逆向变换就是多个向量

函数要求是“一个输入对应一个输出”

即使逆变换不存在，方程仍然可能存在解，假设线性变换 将空间压缩为一条直线，让变换后的结果 恰巧与 在同一条直线上，这个时候解存在，反之解不存在。

 

 

逆变换不存在，方程解的存在性

6.3 列空间

矩阵的列意味着变换后的基向量在什么位置，这些变换后基向量张成的空间就是所有可能变换的结果。我们将所有可能输出向量 的集合称为列空间(colunm space)。换句话而言，列空间就是矩阵的列所张成的空间.

进一步讲，列空间的维数称为秩。

• 当变换后的结果 为一条直线时，也就是结果是一维的，我们就称这个变换的秩为1.
• 当变换后的结果 为一个平面时，也就是结果是二维的，我们就称这个变换的秩为2.

特别的， 对于 维矩阵，

• 当秩为3时，意味着列向量仍可以张成整个空间，行列式的值不为0；
• 秩为2，意味着线性变换对空间进行了压缩(行列式的值为0)；
• 秩为1，意味着空间压缩就比较严重；
  

由此可得，秩可以用来描述线性变换对空间的压缩程度。

秩 变换后空间的维数。 列空间的维数。

特别地，

1）当秩取到最大值时，意味着秩与矩阵的列数相等，我们称之为“满秩(Full Rank)”.

2）满秩变换，唯一能在变换后落在原点的向量一定是零向量自身。

3） 零向量一定在列空间中，因为线性变换必须保持空间原点位置保持不变；

6.4 零空间/核（Null space/Kernel）

对于非满秩矩阵，意味着该线性变换会对空间进行压缩到一个更低维的空间，通俗来讲，就是会有一系列直线上不同方向的向量压缩为原点。

PS：有变换将三维空间压缩为一个平面，就有变换将这个平面可以压缩为一个原点。

我们将变换后落在原点的向量集合，被称为“零空间”或者“核”。变换后一些向量落在零向量上，换句话而言，零空间是就是这些向量构成的。

特别地，当 时，零空间给出的就是这个向量方程的所有可能的解。

6.5 总结

（1） 对于方程个数与未知数个数一致的线性方程，我们将其转化为向量方程组 ，求解方程组意味着我们寻找一个向量，使得经过线性变换 后与向量 重合。

• 当 ，意味着变换对空间没有压缩，对应的逆变换 存在，我们可以求解方程组，且对应的解唯一；
• 逆变换意味着经过变换后向量还原为初始状态；
• 恒等变换:（这个变换相当于什么也没做，保持原始状态）
• 当 , 意味着变换对空间存在压缩，逆变换不存在，方程组可能无解或者有解；
  
• 当 时，这个向量方程的所有可能的解称为“零空间”。

（2）矩阵的列（变换后的基向量）张成的空间称为“列空间”；研究列空间解决了 何时有解的问题；

（3）秩 用来描述线性变换对空间的压缩情况 列向量的维数

• 满秩 秩与矩阵的列数相等 矩阵的列向量线性无关；
• 对于满秩而言，只有零向量经过变换之后仍然保持在原位置。
• 对于非满秩而言，可以有许多向量经过变换之后压缩在零点。

（4）将变换后落在原点的向量集合称为“零空间”或者“核”。零空间的概念有助于我们理解所有可能解的集合是什么样的。

5） （）维的矩阵，表示将 维空间中的基向量映射到 维空间中，其中 列表示变换前基向量空间的维数； 行表示变换后基向量需要 个独立的坐标来描述